Радиусы двух окружностей равны R и r, а расстояние между их центрами равно d. Докажите, что эти окружности пересекаются тогда и только тогда, когда  | R - r| < d < R + r.

   Решение

  а) Головоломка "Ханойская башня" представляет собой восемь дисков, нанизанных в порядке уменьшения размеров на один из трёх колышков. Требуется переместить всю башню на другой колышек, перенося каждый раз только один диск и не помещая больший диск на меньший. Докажите, что головоломка имеет решение. Какой способ будет оптимальным (по числу перекладываний дисков)?

  б) Занумеруем колышки числами 1, 2, 3. Требуется переместить диски с 1-го колышка на 3-й. Сколько понадобится перекладываний, если прямое перемещение диска с 1-го колышка на 3-й и с 3-го на 1-й запрещено (каждое перекладывание должно производиться через 2-й колышек)?

  в) Сколько понадобится перекладываний, если в условии пункта а) добавить дополнительное требование: первый (самый маленький) диск нельзя класть на 2-й колышек?

   Решение

Через точку A проведена прямая l, пересекающая окружность S с центром O в точках M и N и не проходящая через O. Пусть M' и N' — точки, симметричные M и N относительно OA, а A' — точка пересечения прямых MN' и M'N. Докажите, что A' совпадает с образом точки A при инверсии относительно S (и, следовательно, не зависит от выбора прямой l).

   Решение

По кругу в некотором порядке расставлены все натуральные числа от 1 до 1000 таким образом, что каждое из чисел является делителем суммы двух своих соседей. Известно, что рядом с числом k стоят два нечётных числа. Какой чётности может быть число k?

   Решение

В одной урне лежат два белых шара, в другой два черных, в третьей - один белый и один черный. На каждой урне висела табличка, указывающее ее содержимое: ББ, ЧЧ, БЧ. Некто перевесил таблички так, что теперь каждая табличка указывает содержимое урны неправильно. Разрешается вынуть шар из любой урны, не заглядывая в нее. Какое наименьшее число извлечений потребуется, чтобы определить состав всех трех урн?

   Решение

Докажите, что при инверсии относительно описанной окружности изодинамические центры треугольника переходят друг в друга.

   Решение

Имеются 6 запертых чемоданов и 6 ключей к ним. При этом неизвестно, к какому чемодану подходит какой ключ. Какое наименьшее число попыток надо сделать, чтобы наверняка открыть все чемоданы? А сколько понадобится попыток, если ключей и чемоданов будет не по 6, а по 10?

   Решение

В прямоугольном треугольнике ABC расположен прямоугольник ADKM так, что его сторона AD лежит на катете AB, сторона AM - на катете AC, а вершина K - на гипотенузе BC. Катет AB равен 5, а катет AC равен 12. Найдите стороны прямоугольника ADKM, если его площадь равна 40/3, а диагональ меньше 8.

   Решение

На сторонах AB и AC треугольника ABC взяты точки E и F. Прямые EF и BC пересекаются в точке S. Точки M и N – середины отрезков BC и EF соответственно. Прямая, проходящая через вершину A и параллельная MN, пересекает BC в точке K. Докажите, что  BK : CK = FS : ES.

   Решение

Основанием треугольной пирамиды ABCD является треугольник ABC , в котором A = , C = , BC = 2 . Рёбра AD , BD , CD равны между собой. Сфера радиуса 1 касается рёбер AD , BD , продолжения ребра CD за точку D и плоскости ABC . Найдите отрезок касательной, проведённой из точки A к сфере.

   Решение

Какое минимальное количество точек на поверхности
   а) додекаэдра,
   б) икосаэдра
надо отметить, чтобы на каждой грани была хотя бы одна отмеченная точка?

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 17]      

На поверхности куба проведена замкнутая восьмизвенная ломаная, вершины которой совпадают с вершинами куба.
Какое наименьшее количество звеньев этой ломаной может совпасть с рёбрами куба?

Прислать комментарий

Решение

Какое минимальное количество точек на поверхности
   а) додекаэдра,
   б) икосаэдра
надо отметить, чтобы на каждой грани была хотя бы одна отмеченная точка?

Прислать комментарий

Решение

В пространстве заданы четыре точки, не лежащие в одной плоскости.
Сколько существует различных параллелепипедов, для которых эти точки служат вершинами?

Прислать комментарий

Решение

Выпуклый многогранник с вершинами в серединах ребер некоторого куба называется кубооктаэдром. В сечении кубооктаэдра плоскостью получился правильный многоугольник. Какое наибольшее число сторон он может иметь?

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что не существует многогранника, у которого было бы ровно семь рёбер.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 17]