Страница:
<< 3 4 5 6
7 8 9 >> [Всего задач: 158]
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 10,11
|
При каких n можно раскрасить в три цвета все ребра n-угольной призмы (основания – n-угольники) так, что в каждой вершине сходятся все три цвета и у каждой грани (включая основания) есть стороны всех трёх цветов?
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9
|
Плоскость раскрашена в два цвета, причем каждый цвет использован.
а) Докажите, что найдутся две точки одного цвета, расстояние между которыми равно 2006 м.
б) Докажите, что найдутся две точки разных цветов, расстояние между которыми также равно 2006 м.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
|
Можно ли рёбра n-угольной призмы раскрасить в три цвета так, чтобы на каждой грани были все три цвета и в каждой вершине сходились рёбра разных цветов, если а) n = 1995; б) n = 1996.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9,10
|
Каждая точка пространства окрашена в один из пяти цветов, причем
каждым из этих пяти цветов окрашена хотя бы одна точка.
Докажите, что найдется плоскость, все точки которой окрашены не
менее, чем в 4 цвета.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 10,11
|
Известно, что если у правильного $N$-угольника, находящегося внутри окружности, продлить все стороны до пересечения с этой окружностью, то $2N$ добавленных к сторонам отрезков можно разбить на две группы с одинаковой суммой длин.
А верно ли аналогичное утверждение для находящегося внутри сферы
а) произвольного куба;
б) произвольного правильного тетраэдра?
(Каждое ребро продлевают в обе стороны до пересечения со сферой. В итоге к каждому ребру добавляется по отрезку с обеих сторон. Требуется покрасить каждый из них либо в красный, либо в синий цвет, чтобы сумма длин красных отрезков была равна сумме длин синих.)
Страница:
<< 3 4 5 6
7 8 9 >> [Всего задач: 158]
Фильтр
Решение 
