Каталог по темам

Задачи

Страница: << 32 33 34 35 36 37 38 >> [Всего задач: 416]

Задача 98298

Темы:	[	Принцип Дирихле (углы и длины)	]
Темы:	[	Целая и дробная части. Принцип Архимеда	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Автор: Канель-Белов А.Я.

В ряд выписаны действительные числа a₁, a₂, a₃, ..., a₁₉₉₆. Докажите, что можно выделить одно или несколько стоящих рядом чисел так, что их сумма будет отличаться от целого числа меньше, чем на 0,001.

Прислать комментарий

Решение

Задача 98510

Темы:	[	Средние величины	]
Темы:	[	Ограниченность, монотонность	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Автор: Рыбников И.Г.

В магазин завезли 20 кг сыра, за ним выстроилась очередь. Отпустив сыр очередному покупателю, продавщица безошибочно подсчитывает средний вес покупки по всему проданному сыру и сообщает, на сколько человек хватит оставшегося сыра, если все будут покупать именно по этому среднему весу. Могла ли продавщица после каждого из первых 10 покупателей сообщать, что сыра хватит ещё ровно на 10 человек? Если да, то сколько сыра осталось в магазине после первых 10 покупателей?

Прислать комментарий

Решение

Задача 110153

Темы:	[	Тригонометрические неравенства	]
Темы:	[	Возрастание и убывание. Исследование функций	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Автор: Сендеров В.А.

Сумма положительных чисел a, b, c равна ^π/₂. Докажите, что cos a + cos b + cos c > sin a + sin b + sin c.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61408

Темы:	[	Тригонометрические неравенства	]
Темы:	[	Выпуклость и вогнутость	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Докажите, что для любых x₁,..., x_n $\in$ [0; $\pi$ ] справедливо неравенство:

sin $\displaystyle \left(\vphantom{\dfrac{x_1+\ldots+x_n}{n}}\right.$ $\displaystyle {\dfrac{x_1+\ldots+x_n}{n}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\dfrac{x_1+\ldots+x_n}{n}}\right)$ $\displaystyle \geqslant$ $\displaystyle {\dfrac{\sin x_1+\ldots+ \sin x_n}{n}}$ .

Прислать комментарий

Решение

Задача 66897

Темы:	[	Квадратный трехчлен (прочее)	]
	[	Целая и дробная части. Принцип Архимеда	]
	[	Графики и ГМТ на координатной плоскости	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Толпыго А.К.

Как известно, квадратное уравнение имеет не более двух корней. А может ли уравнение $[x^2] + px + q = 0$ при $p \ne 0$ иметь более 100 корней? ($[x^2]$ обозначает наибольшее целое число, не превосходящее $x^2$.)

Прислать комментарий Решение

Страница: << 32 33 34 35 36 37 38 >> [Всего задач: 416]