Версия для печати
Убрать все задачи

---

В центре каждой клетки клетчатого прямоугольника $M$ расположена точечная лампочка, изначально все они погашены. За ход разрешается провести любую прямую, не задевающую лампочек, и зажечь все лампочки по какую-то одну сторону от этой прямой, если все они погашены. Каждым ходом должна зажигаться хотя бы одна лампочка. Требуется зажечь все лампочки, сделав как можно больше ходов. Какое максимальное число ходов удастся сделать, если

а) $M$ – квадрат $21\times21$;

б) $M$ – прямоугольник $20\times21$?

   Решение

---

Можно ли бумажный круг с помощью ножниц перекроить в квадрат той же площади?
(Разрешается сделать конечное число разрезов по прямым линиям и дугам окружностей.)

   Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 101]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 65521

Темы:   [ Перегруппировка площадей ] [ Площадь треугольника (через высоту и основание) ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Через точку P проведены три отрезка, параллельные сторонам треугольника ABC (см. рисунок).
Докажите, что площади треугольников A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂ равны.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98324

Темы:   [ Перегруппировка площадей ] [ Круг, сектор, сегмент и проч. ] [ Доказательство от противного ] [ Инварианты ]

Сложность: 3+ Классы: 6,7,8

Можно ли бумажный круг с помощью ножниц перекроить в квадрат той же площади?
(Разрешается сделать конечное число разрезов по прямым линиям и дугам окружностей.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 105150

Темы:   [ Перегруппировка площадей ] [ Касающиеся окружности ] [ Три окружности одного радиуса ] [ Площади криволинейных фигур ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Хулиганы Джей и Боб на уроке черчения нарисовали головастиков (четыре окружности на рисунке - одного радиуса, треугольник - равносторонний, горизонтальная сторона этого треугольника - диаметр окружности). Какой из головастиков имеет бо'льшую площадь?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108164

Темы:   [ Перегруппировка площадей ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Площадь параллелограмма ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

В остроугольном треугольнике ABC провели высоты AD и CE. Построили квадрат ACPQ и прямоугольники CDMN и AEKL, у которых  AL = AB  и
CN = CB.  Докажите, что площадь квадрата ACPQ равна сумме площадей прямоугольников AEKL и CDMN.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116074

Темы:   [ Перегруппировка площадей ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Подобные треугольники (прочее) ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

На сторонах AB и BC треугольника ABC взяты точки M и K соответственно так, что  S_KMC + S_KAC = S_ABC.
Докажите, что все такие прямые MK проходят через одну точку.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 101]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями