Версия для печати
Убрать все задачи

---

На плоскости отмечены две точки на расстоянии 1. Разрешается, измерив циркулем расстояние между двумя отмеченными точками, провести окружность с центром в любой отмеченной точке с измеренным радиусом. Линейкой разрешается провести прямую через любые две отмеченные точки. При этом отмечаются новые точки – точки пересечения построенных линий. Пусть Ц(n) – наименьшее число линий, проведение которых одним циркулем позволяет получить две отмеченные точки на расстоянии n (n – натуральное). ЛЦ(n) – то же, но циркулем и линейкой. Докажите, что последовательность    неограничена.

   Решение

---

В пространстве даны три отрезка A₁A₂, B₁B₂ и C₁C₂, не лежащие в одной плоскости и пересекающиеся в одной точке P. Обозначим через O_ijk центр сферы, проходящей через точки A_i, B_j, C_k и P. Докажите, что прямые O₁₁₁O₂₂₂, O₁₁₂O₂₂₁, O₁₂₁O₂₁₂ и O₂₁₁O₁₂₂ пересекаются в одной точке.

   Решение

---

В группе из 50 ребят некоторые знают все буквы, кроме "р", которую просто пропускают при письме, а остальные знают все буквы, кроме "к", которую тоже пропускают. Однажды учитель попросил 10 учеников написать слово "кот", 18 других учеников – слово "рот", а остальных – слово "крот". При этом слова "кот" и "рот" оказались написанными по 15 раз. Сколько ребят написали своё слово верно?

   Решение

---

Постройте прямую, проходящую через данную точку и касающуюся данной окружности.

   Решение

---

а) В трёхзначном числе зачеркнули первую цифру слева, затем полученное двузначное число умножили на 7 и получили исходное трёхзначное число. Найдите такое число.
б) В трёхзначном числе зачеркнули среднюю цифру и получили число в 6 раз меньше исходного. Найдите такое трёхзначное число.

   Решение

---

Стороны параллелограмма равны a и b. Найти отношение объёмов тел, полученных при вращении параллелограмма вокруг стороны a и вокруг стороны b.

   Решение

---

Четырехугольник $ABCD$ описан вокруг окружности радиуса $R$. Пусть $h_1$ и $h_2$ – высоты опущенные из точки $A$ на стороны $BC$ и $CD$ соответственно. Аналогично $h_3$ и $h_4$ – высоты опущенные из точки $C$ на стороны $AB$ и $AD$. Докажите, что $$ \frac{h_1+h_2-2R}{h_1h_2}=\frac{h_3+h_4-2R}{h_3h_4}. $$

   Решение

---

Дан угол ABC и прямая l. Постройте прямую, параллельную прямой l, на которой стороны угла ABC высекают отрезок данной длины a.

   Решение

---

Прямая, проходящая через центры двух окружностей называется их линией центров.
Докажите, что общие внешние (внутренние) касательные к двум окружностям пересекаются на линии центров этих окружностей.

   Решение

---

Внутри треугольника ABC взята точка P так, что  ∠ABP = ∠ACP,  а  ∠CBP = ∠CAP. Докажите, что P – точка пересечения высот треугольника ABC.

   Решение

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 243]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 98593

Темы:   [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Внутри треугольника ABC взята точка P так, что  ∠ABP = ∠ACP,  а  ∠CBP = ∠CAP. Докажите, что P – точка пересечения высот треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108128

Темы:   [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Равные треугольники. Признаки равенства (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AH_A, BH_B и CH_C.
Докажите, что треугольник с вершинами в ортоцентрах треугольников AH_BH_C, BH_AH_C и CH_AH_B равен треугольнику H_AH_BH_C.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108639

Темы:   [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Свойства симметрий и осей симметрии ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Вокруг остроугольного треугольника ABC описана окружность. Продолжения высот треугольника, проведённых из вершин A и C, пересекают окружность в точках E и F соответственно, D произвольная точка на (меньшей) дуге AC, K – точка пересечения DF и AB, L – точка пересечения DE и BC. Докажите, что прямая KL проходит через ортоцентр треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108948

Темы:   [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁, BB₁ и CC₁. На отрезке A₁C₁ выбрали такие точки A₂ и C₂, что отрезок B₁A₂ делится высотой CC₁ пополам и пересекает высоту AA₁ в точке K, а отрезок B₁C₂ делится высотой AA₁ пополам и пересекает высоту CC₁ в точке L. Докажите, что KL || AC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115615

Темы:   [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Неравенства с описанными, вписанными и вневписанными окружностями ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

На сторонах AB, AC, BC равностороннего треугольника ABC, сторона которого равна 2, выбрали точки C₁, B₁, A₁ соответственно.
Какое наибольшее значение может принимать сумма радиусов окружностей, вписанных в треугольники AB₁C₁, A₁BC₁, A₁B₁C.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 243]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями