Каталог по темам

Задачи

Страница: << 10 11 12 13 14 15 16 >> [Всего задач: 138]

Задача 61251

Темы:	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]
Темы:	[	Тригонометрия (прочее)	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Пусть числа u_k определены как и в предыдущей задаче. Докажите тождества:

а) 1 - u₁ + u₂ - u₃ +...+ u_2n = 2ⁿ(1 - cos x)(1 - cos 3x)...(1 - cos(2n - 1)x);

б) 1 - u₁² + u₂² - u₃² +...+ u_2n² = (- 1)ⁿ ${\dfrac{\sin(2n+2)x\cdot \sin(2n+4)x\cdot\ldots \cdot\sin4nx}{\sin 2nx\cdot\sin2(n-1)x\cdot\ldots\cdot\sin 2x}}$ .

Прислать комментарий

Решение

Задача 73575

Темы:	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]
	[	Подсчет двумя способами	]
	[	Сочетания и размещения	]
	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10

Автор: Березин В.Н.

Найдите суммы
а) 1·n + 2(n – 1) + 3(n – 2) + ... + n·1.
б) S_n,k = (1·2·...·k)·(n(n – 1)...(n – k + 1)) + (2·3·...·(k + 1))·((n – 1)(n – 2)...(n – k)) + ... + ((n – k + 1)(n – k + 2)...·n)·(k(k – 1)·...·1).

Прислать комментарий

Решение

Задача 109626

Темы:	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]
	[	Многочлены (прочее)	]
	[	Неравенства. Метод интервалов	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Мусин О.

Докажите, что если числа a₁, a₂, ..., a_m отличны от нуля и для любого целого k = 0, 1, ..., n (n < m – 1) выполняется равенство:
a₁ + a₂·2^k + a₃·3^k + ... + a_mm^k = 0, то в последовательности a₁, a₂, ..., a_m есть по крайней мере n + 1 пара соседних чисел, имеющих разные знаки.

Прислать комментарий

Решение

Задача 79370

Темы:	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Подсчет двумя способами	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Числовые таблицы и их свойства	]

Сложность: 5+
Классы: 9,10,11

Автор: Конягин С.В.

а) Существует ли последовательность натуральных чисел a₁, a₂, a₃, ..., обладающая следующим свойством: ни один член последовательности не равен сумме нескольких других и a_n ≤ n¹⁰ при любом n?

б) Тот же вопрос, если a_n ≤ n при любом n.

Прислать комментарий Решение

Задача 98671

Темы:	[	Последовательности (прочее)	]
Темы:	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]

Сложность: 2
Классы: 5,6,7

Продолжите последовательность: 2, 6, 12, 20, 30, …

Прислать комментарий Решение

Страница: << 10 11 12 13 14 15 16 >> [Всего задач: 138]