Версия для печати
Убрать все задачи

---

В остроугольном неравностороннем треугольнике через одну вершину проведена высота, через другую – медиана, через третью биссектриса.
Докажите, что если проведённые линии, пересекаясь, образуют треугольник, то он не может быть равносторонним.

   Решение

---

Дан правильный треугольник ABC. На продолжении стороны AC за точку C взята точка D, а на продолжении стороны BC за точку C – точка E, причём
BD = DE.  Докажите, что  AD = CE.

   Решение

---

На сторонах AB и BC треугольника ABC взяты точки D и E соответственно, причём  ^AD/_DB = ^BE/_EC = 2  и  ∠C = 2∠DEB.
Докажите, что треугольник ABC – равнобедренный.

   Решение

---

Построить такой равнобедренный треугольник, чтобы периметр всякого вписанного в него прямоугольника (две вершины которого лежат на основании треугольника) был постоянный.

   Решение

---

В выпуклом четырёхугольнике ABCD  AB = BC.  Лучи BA и CD пересекаются в точке E, а лучи AD и BC – в точке F. Известно также, что  BE = BF  и
∠DEF = 25°.  Найдите угол EFD.

   Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 221]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 78096

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Подсчет двумя способами ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

В прямоугольной таблице, составленной из положительных чисел, произведение суммы чисел любого столбца на сумму чисел любой строки равно числу, стоящему на их пересечении. Доказать, что сумма всех чисел в таблице равна единице.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78238

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Доказать, что если n чётно, то числа 1, 2, 3, ..., n² можно таким образом расположить в квадратную таблицу n×n, чтобы суммы чисел, стоящих в каждом столбце, были одинаковы.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78651

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9,10

Расставить в таблице 4×4 16 чисел так, чтобы сумма чисел по любой вертикали, горизонтали и диагонали равнялась нулю. (Таблица имеет 14 диагоналей, включая все малые, состоящие из трёх, двух и одной клеток. Хотя бы одно из чисел должно быть отлично от нуля.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 88187

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Инварианты ]

Сложность: 3 Классы: 6,7,8

На клетке b8 шахматной доски написано число –1, а на всех остальных клетках число 1. Разрешается одновременно менять знак во всех клетках одной вертикали или одной горизонтали. Докажите, что сколько бы раз мы это ни проделывали, невозможно добиться, чтобы все числа в таблице стали положительными.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98071

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Шахматные доски и шахматные фигуры ] [ Доказательство от противного ] [ Принцип крайнего (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

В клетках доски  n×n  произвольно расставлены числа от 1 до n². Докажите, что найдутся две такие соседние клетки (имеющие общую вершину или общую сторону), что стоящие в них числа отличаются не меньше чем на  n + 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 221]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями