Страница:
<< 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 77]
|
|
Сложность: 4- Классы: 9,10,11
|
Последовательность неотрицательных рациональных чисел a1, a2, a3, ... удовлетворяет соотношению am + an = amn при любых натуральных m, n.
Докажите, что не все её члены различны.
|
|
Сложность: 4- Классы: 9,10,11
|
По данному натуральному числу a0 строится последовательность {an} следующим образом если an нечётно, и a0/2, если an чётно. Докажите, что при любом нечётном a0 > 5 в последовательности {an} встретятся сколь угодно большие числа.
|
|
Сложность: 4 Классы: 10,11
|
Все натуральные числа выписали в ряд в некотором порядке (каждое число по одному разу). Обязательно ли найдутся несколько (больше одного) чисел, выписанных подряд (начиная с какого-то места), сумма которых будет простым числом?
|
|
Сложность: 4 Классы: 9,10,11
|
Изначально на стол кладут 100 карточек, на каждой из которых записано по натуральному числу; при этом среди них ровно 28 карточек с нечётными числами. Затем каждую минуту проводится следующая процедура. Для каждых 12 карточек, лежащих на столе, вычисляется произведение записанных на них чисел, все эти произведения складываются, и полученное число записывается на новую карточку, которая добавляется к лежащим на столе. Можно ли выбрать исходные 100 чисел так, что для любого натурального d на столе рано или поздно появится карточка с числом, кратным 2d?
|
|
Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11
|
Андрей Михайлович выписал на доску все возможные последовательности длины $2022$, состоящие из 1011 нулей и 1011 единиц. Назовём две последовательности
совместимыми, если они совпадают ровно в 4 позициях. Докажите, что Андрей Михайлович может разбить все последовательности на 20 групп так, чтобы никакие две совместимые последовательности не попали в одну группу.
Страница:
<< 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 77]