Каталог по темам

Задачи

Страница: << 39 40 41 42 43 44 45 >> [Всего задач: 593]

Темы:	[	Квадратичные неравенства (несколько переменных)	]
	[	Формулы сокращенного умножения (прочее)	]
	[	Неравенство Коши	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Про положительные числа a, b, c известно, что ¹/_a + ¹/_b + ¹/_c ≥ a + b + c. Докажите, что a + b + c ≥ 3abc.

Темы:	[	Линейные неравенства и системы неравенств	]
	[	Уравнения в целых числах	]
	[	Перебор случаев	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Пусть a, b, c – такие целые неотрицательные числа, что 28a + 30b + 31c = 365. Докажите, что a + b + c = 12.

Темы:	[	Неравенство Коши	]
Темы:	[	Квадратичные неравенства (несколько переменных)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Дано четыре положительных числа a, p, c, k, произведение которых равно 1. Доказать, что a² + p² + c² + k² + ap + ac + pc + ak + pk + ck ≥ 10.

Тема:

[

]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Доказать неравенство abc² + bca² + cab² ≤ a⁴ + b⁴ + c⁴.

Темы:	[	Квадратичные неравенства (несколько переменных)	]
	[	Исследование квадратного трехчлена	]
	[	Выделение полного квадрата. Суммы квадратов	]
	[	Тождественные преобразования	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Докажите, что для любых действительных чисел a и b справедливо неравенство a² + ab + b² ≥ 3(a + b – 1).

Страница: << 39 40 41 42 43 44 45 >> [Всего задач: 593]