Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 178]      

Докажите неравенство для натуральных n:  

Решение

Прислать комментарий

Докажите для положительных значений переменных неравенство  (a + b + c)(a² + b² + c²) ≥ 9abc.

Подсказка

Воспользуйтесь неравенством Коши.

Прислать комментарий

Докажите неравенство для положительных значений переменных:  

Подсказка

После домножения на общий знаменатель и сокращений задача сводится к неравенству из задачи 61378.

Прислать комментарий

Докажите неравенство   3(a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃) ≥ (a₁ + a₂ + a₃)(b₁ + b₂ + b₃)  при  a₁ ≥ a₂ ≥ a₃,  b₁ ≥ b₂ ≥ b₃.

Решение

3(a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃) – (a₁ + a₂ + a₃)(b₁ + b₂ + b₂) = (a₁ – a₂)(b₁ – b₂) + (a₁ – a₃)(b₁ – b₃) + (a₂ – a₃)(b₂ – b₃) ≥ 0.

Прислать комментарий

Докажите, что для любых натуральных m и n хотя бы одно из чисел  ,    не больше  .

Решение

  Если  n ≥ m,  то     Поэтому достаточно доказать, что   то есть что  3ⁿ ≥ n³. Докажем это по индукции.
  База:  3¹ > 1³,  3² > 2³,  3³ = 3³.
  Шаг индукции.  3ⁿ⁺¹ = 3·3ⁿ ≥ 3n³ > (n + 1)³,  поскольку     при  n ≥ 3.

Прислать комментарий

Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 178]