Каталог по темам

Задачи

Страница: << 136 137 138 139 140 141 142 >> [Всего задач: 1371]

Задача 79511

Темы:	[	Разные задачи на разрезания	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Вспомогательная раскраска	]

Сложность: 4+
Классы: 9

Школьник хочет вырезать из квадрата размером 2n×2n наибольшее количество прямоугольников размером 1×(n + 1). Найти это количество для каждого натурального значения n.

Прислать комментарий Решение

Задача 109738

Темы:	[	Системы отрезков, прямых и окружностей	]
	[	Объединение, пересечение и разность множеств	]
	[	Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости)	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Автор: Карасев Р.

На прямой выбрано 100 множеств A₁, A₂, .. , A100 , каждое из которых является объединением 100 попарно непересекающихся отрезков. Докажите, что пересечение множеств A₁, A₂, .. , A100 является объединением не более 9901 попарно непересекающихся отрезков (точка также считается отрезком).

Прислать комментарий Решение

Задача 109939

Темы:	[	Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки	]
	[	Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости)	]
	[	Индукция в геометрии	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Изместьев И.В.

Из бесконечной шахматной доски вырезали многоугольник со сторонами, идущими по сторонам клеток. Отрезок периметра многоугольника называется черным, если примыкающая к нему изнутри многоугольника клетка – черная, соответственно белым, если клетка белая. Пусть A – количество черных отрезков на периметре, B – количество белых, и пусть многоугольник состоит из a черных и b белых клеток. Докажите, что A-B=4(a-b) .

Прислать комментарий Решение

Задача 110001

Темы:	[	Раскраски	]
	[	Геометрия на клетчатой бумаге	]
	[	Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.)	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Авторы: Голованов А.С., Сопкина Е.

Клетки квадрата 50×50 раскрашены в четыре цвета. Докажите, что существует клетка, с четырех сторон от которой (т.е. сверху, снизу, слева и справа) имеются клетки одного с ней цвета (не обязательно соседние с этой клеткой).

Прислать комментарий Решение

Задача 110004

Темы:	[	Системы точек	]
	[	Прямые и плоскости в пространстве (прочее)	]
	[	Объединение, пересечение и разность множеств	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Авторы: Дольников В.Л., Игонин С.

В пространстве даны n точек общего положения (никакие три не лежат на одной прямой, никакие четыре не лежат в одной плоскости). Через каждые три из них проведена плоскость. Докажите, что какие бы n-3 точки в пространстве ни взять, найдется плоскость из проведенных, не содержащая ни одной из этих n-3 точек.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 136 137 138 139 140 141 142 >> [Всего задач: 1371]