Каталог по темам

Задачи

Страница: << 185 186 187 188 189 190 191 >> [Всего задач: 1376]

Задача 58217

Тема:

[

Теорема Минковского

]

Сложность: 7
Классы: 9,10

Внутри выпуклой фигуры с площадью S и полупериметром p нет точек целочисленной решётки. Докажите, что S $\le$ p.

Прислать комментарий Решение

Задача 58218

Тема:

[

Теорема Минковского

]

Сложность: 7
Классы: 9,10

Выпуклая фигура $\Phi$ имеет площадь S и полупериметр p. Докажите, что если S > np для некоторого натурального n, то $\Phi$ содержит по крайней мере n целочисленных точек.

Прислать комментарий Решение

Задача 58219

Тема:

[

Теорема Минковского

]

Сложность: 7
Классы: 9,10

Внутри выпуклой фигуры с площадью S и полупериметром p лежит n узлов решетки. Докажите, что n > S - p.

Прислать комментарий Решение

Задача 58253

Тема:

[

Плоскость, разрезанная прямыми

]

Сложность: 7
Классы: 8,9

Части, на которые плоскость разрезана прямыми. раскрашены в красный и синий цвет так, что соседние части разного цвета (см. задачу 27.1). Пусть a -- количество красных частей, b — количество синих частей. Докажите, что

a $\displaystyle \le$ 2b - 2 - $\displaystyle \sum$ ( $\displaystyle \lambda$ (P) - 2),

причем равенство достигается тогда и только тогда, когда красные области — треугольники и углы.

Прислать комментарий

Решение

Задача 73780

Темы:	[	Системы точек	]
	[	Свойства симметрий и осей симметрии	]
	[	Симметрия относительно плоскости	]
	[	Правильный тетраэдр	]
	[	Индукция в геометрии	]

Сложность: 7
Классы: 10,11

Автор: Гервер М.Л.

Предлагается построить N точек на плоскости так, чтобы все расстояния между ними равнялись заранее заданным числам: для любых двух точек M_i и M_j, где i и j — любые числа от 1 до N.

Можно ли провести построение, если расстояния r_ij заданы так, что всякие 5 из N точек построить можно?

б) Достаточно ли требовать, чтобы можно было построить всякие 4 из N точек?

в) Что изменится, если строить точки не на плоскости, а в пространстве? Каково тогда наименьшее k, для которого возможность построения любых k из данных N точек обеспечивает возможность построения и всех N> точек?

Прислать комментарий Решение

Страница: << 185 186 187 188 189 190 191 >> [Всего задач: 1376]