Каталог по темам

Задачи

Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 165]

Задача 110181

Темы:	[	Раскраски	]
	[	Задачи с ограничениями	]
	[	Ориентированные графы	]
	[	Перестановки и подстановки (прочее)	]
	[	Отношение порядка	]

Сложность: 5-

Авторы: Богданов И.И., Челноков Г.Р.

Даны N ≥ 3 точек, занумерованных числами 1, 2, ..., N. Каждые две точки соединены стрелкой от меньшего номера к большему. Раскраску всех стрелок в красный и синий цвета назовем однотонной, если нет двух таких точек A и B, что от A до B можно добраться и по красным стрелкам, и по синим. Найдите количество однотонных раскрасок.

Прислать комментарий

Решение

Задача 111344

Темы:	[	Раскраски	]
	[	Деление с остатком	]
	[	Четность и нечетность	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Обыкновенные дроби	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Шаповалов А.В.

Натуральные числа покрашены в N цветов. Чисел каждого цвета бесконечно много. Известно, что цвет полусуммы двух различных чисел одной чётности зависит только от цветов слагаемых.
а) Докажите, что полусумма чисел одной чётности одного цвета всегда окрашена в тот же цвет.
б) При каких N такая раскраска возможна?

Прислать комментарий

Решение

Задача 66685

Темы:	[	Раскраски	]
	[	Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости)	]
	[	Правильные многоугольники	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Белухов Н.

На плоскости дано конечное множество $S$ точек, окрашенных в красный и зеленый цвета. Назовем множество разделимым, если для него найдется такой треугольник, что все точки одного цвета лежат строго внутри, а все точки другого – строго вне треугольника. Известно, что любые 1000 точек из $S$ образуют разделимое множество. Обязательно ли все множество $S$ разделимо?

Прислать комментарий Решение

Задача 109829

Темы:	[	Раскраски	]
	[	Целочисленные решетки (прочее)	]
	[	Степень вершины	]
	[	Перестройки	]
	[	Процессы и операции	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10

Авторы: Глебов А., Фон-дер-Флаас Д.

На бесконечном белом листе клетчатой бумаги конечное число клеток окрашено в чёрный цвет так, что у каждой чёрной клетки чётное число (0, 2 или 4) белых клеток, соседних с ней по стороне. Докажите, что каждую белую клетку можно окрасить в красный или зелёный цвет так, чтобы у каждой чёрной клетки стало поровну красных и зелёных клеток, соседних с ней по стороне.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109891

Темы:	[	Раскраски	]
	[	Системы точек	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Подсчет двумя способами	]
	[	Покрытия	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Автор: Изместьев И.В.

На прямой через равные промежутки отмечены 1996 точек. Петя раскрашивает половину из них в красный цвет, а остальные – в синий. Затем Вася разбивает их на пары красная-синяя так, чтобы сумма расстояний между точками в парах была максимальной. Докажите, что этот максимум не зависит от того, какую раскраску сделал Петя.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 165]