Страница:
<< 77 78 79 80
81 82 83 >> [Всего задач: 490]
Дано 8 действительных чисел: a, b, c, d, e, f, g, h. Доказать,
что хотя бы одно из шести чисел ac + bd, ae + bf, ag + bh, ce + df, cg + dh, eg + fh неотрицательно.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
Докажите, что в выпуклый центрально-симметричный многоугольник можно
поместить ромб вдвое меньшей площади.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
В Швамбрании N городов, каждые два соединены дорогой. При этом дороги
сходятся лишь в городах (нет перекрёстков, одна дорога поднята эстакадой над
другой). Злой волшебник устанавливает на всех дорогах одностороннее движение
таким образом, что если из города можно выехать, то в него нельзя вернуться.
Доказать, что
а) волшебник может это сделать;
б) найдётся город, из которого можно добраться до всех, и
найдётся город, из которого нельзя выехать;
в) существует единственный путь, обходящий все города;
г) волшебник может осуществить своё намерение N! способами.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
Первоначально даны четыре одинаковых прямоугольных треугольника. Каждым ходом
один из имеющихся треугольников разрезается по высоте (выходящей из прямого угла) на два других. Докажите, что после любого количества ходов среди треугольников найдутся два одинаковых.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
|
В вершинах выпуклого n-угольника расставлены m фишек (m > n). За один ход разрешается передвинуть две фишки, стоящие в одной вершине, в соседние вершины: одну – вправо, вторую – влево. Докажите, что если после нескольких ходов в каждой вершине n-угольника будет стоять
столько же фишек, сколько и вначале, то количество сделанных ходов кратно n.
Страница:
<< 77 78 79 80
81 82 83 >> [Всего задач: 490]
Фильтр
