Страница:
<< 92 93 94 95
96 97 98 >> [Всего задач: 488]
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
|
В стране есть N городов. Некоторые пары из них соединены беспосадочными двусторонними авиалиниями. Оказалось, что для любого k (2 ≤ k ≤ N) при любом выборе k городов количество авиалиний между этими городами не будет превосходить 2k – 2. Докажите, что все авиалинии можно распределить между двумя авиакомпаниями так, что
не будет замкнутого авиамаршрута, в котором все авиалинии принадлежат одной компании.
|
|
|
Сложность: 5+
Классы: 8,9,10
|
Треугольник
T содержится внутри выпуклого центрально-симметричного
многоугольника
M .
Треугольник
T' получается из треугольника
T
центральной симметрией относительно некоторой точки
P , лежащей внутри треугольника
T .
Докажите, что хотя бы одна из вершин треугольника
T' лежит
внутри или на границе многоугольника
M .
|
|
|
Сложность: 5+
Классы: 8,9,10,11
|
В треугольнике провели серединные перпендикуляры к его сторонам и измерили их отрезки, лежащие внутри треугольника.
а) Все три отрезка оказались равны. Верно ли, что треугольник равносторонний?
б) Два отрезка оказались равны. Верно ли, что треугольник равнобедренный?
в) Могут ли длины отрезков равняться 4, 4 и 3?
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
|
Докажите, что сумма всех чисел вида 1/mn, где m и n – натуральные числа, 1 < m < n < 1986, не является целым числом.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
Клетки шахматной доски 8×8 как-то занумерованы числами от 1 до 32, причём каждое число использовано дважды. Докажите, что можно так выбрать 32 клетки, занумерованные разными числами, что на каждой вертикали и на каждой горизонтали найдётся хотя бы по одной выбранной клетке.
Страница:
<< 92 93 94 95
96 97 98 >> [Всего задач: 488]
Фильтр
