Каталог по темам

Задачи

Страница: << 219 220 221 222 223 224 225 >> [Всего задач: 5337]

Задача 65029

Темы:	[	Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$	]
	[	Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ)	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Автор: Швецов Д.В.

В треугольнике ABC ∠A = 60°. Серединный перпендикуляр к отрезку AB пересекает прямую AC в точке C₁. Серединный перпендикуляр к отрезку AC пересекает прямую AB в точке B₁. Докажите, что прямая B₁C₁ касается вписанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65030

Темы:	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]
	[	Биссектриса угла (ГМТ)	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Автор: Френкин Б.Р.

В треугольнике ABC проведены биссектрисы AA', BB', CC'. Известно, что в треугольнике A'B'C' эти прямые также являются биссектрисами.
Верно ли, что треугольник ABC равносторонний?

Прислать комментарий

Решение

Задача 65031

Темы:	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]
	[	Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]
	[	Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ)	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Автор: Френкин Б.Р.

В треугольнике ABC проведён серединный перпендикуляр к стороне AB до пересечения с другой стороной в некоторой точке C'. Аналогично построены точки A' и B'. Для каких исходных треугольников треугольник A'B'C' будет равносторонним?

Прислать комментарий

Решение

Задача 65035

Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Угол между касательной и хордой	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Автор: Швецов Д.В.

Точка H – ортоцентр треугольника ABC. Касательные, проведённые к описанным окружностям треугольников CHB и AHB в точке H, пересекают прямую AC в точках A₁ и C₁ соответственно. Докажите, что A₁H = C₁H.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65037

Темы:	[	Прямоугольные треугольники (прочее)	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Вневписанные окружности	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Конкуррентность высот. Углы между высотами.	]
	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Автор: Швецов Д.В.

Вневписанная окружность прямоугольного треугольника ABC (∠B = 90°) касается стороны BC в точке A₁, а прямой AC в точке A₂. Прямая A₁A₂ пересекает (первый раз) вписанную окружность треугольника ABC в точке A'; аналогично определяется точка C'. Докажите, что AC || A'C'.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 219 220 221 222 223 224 225 >> [Всего задач: 5337]