Каталог по темам

Задачи

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 78]

Задача 108157

Темы:	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Угол между касательной и хордой	]
	[	Отношения линейных элементов подобных треугольников	]
	[	Отрезок, видимый из двух точек под одним углом	]
	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Пересекающиеся окружности	]
	[	Признаки и свойства параллелограмма	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Автор: Берлов С.Л.

В треугольнике ABC окружность, проходящая через вершины A и B, касается прямой BC, а окружность, проходящая через вершины B и C, касается прямой AB и второй раз пересекает первую окружность в точке K. Пусть O – центр описанной окружности треугольника ABC. Докажите, что угол BKO – прямой.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65200

Темы:	[	Взаимное расположение высот, медиан, биссектрис и проч.	]
	[	Перпендикулярные прямые	]
	[	Отношения линейных элементов подобных треугольников	]
	[	Две пары подобных треугольников	]
	[	Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках	]
	[	Свойства медиан. Центр тяжести треугольника.	]
	[	Конкуррентность высот. Углы между высотами.	]
	[	Признаки и свойства параллелограмма	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10

Автор: Ивлев Ф.

Дан треугольник ABC. Проведены высота AH и медиана CM. Обозначим точку их пересечения через P. Высота, проведённая из вершины B треугольника, пересекается с перпендикуляром, опущенным из точки H на прямую CM, в точке Q. Докажите, что прямые CQ и BP перпендикулярны.

Прислать комментарий

Решение

Задача 108155

Темы:	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Отношения линейных элементов подобных треугольников	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Вспомогательная окружность	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Автор: Канель-Белов А.Я.

Окружность S₁, проходящая через вершины A и B треугольника ABC, пересекает сторону BC в точке D. Окружность S₂, проходящая через вершины B и C, пересекает сторону AB в точке E и окружность S₁ вторично в точке F. Оказалось, что точки A, E, D, C лежат на окружности S₃ с центром O. Докажите, что угол BFO – прямой.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116910

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике	]
	[	Отношения линейных элементов подобных треугольников	]
	[	Инверсия помогает решить задачу	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Автор: Плотников М.

Пусть AH – высота остроугольного треугольника ABC, а точки K и L – проекции H на стороны AB и AC. Описанная окружность Ω треугольника ABC пересекает прямую KL в точках P и Q, а прямую AH – в точках A и T. Докажите, что точка H является центром вписанной окружности треугольника PQT.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78287

Темы:	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Правильные многоугольники	]
	[	Композиции симметрий	]
	[	Отношения линейных элементов подобных треугольников	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10

У края биллиарда, имеющего форму правильного 2n-угольника, стоит шар. Как надо пустить шар от борта, чтобы он, отразившись последовательно от всех бортов, вернулся в ту же точку? (При отражении углы падения и отражения равны.) Доказать, что при этом длина пути шара не зависит от выбора начальной точки.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 78]