Страница: << 19 20 21 22 23 24 25 >> [Всего задач: 1363]      

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C провели биссектрисы AK и BN, на которые опустили перпендикуляры CD и CE из вершины прямого угла. Докажите, что длина отрезка DE равна радиусу вписанной окружности.

Прислать комментарий

Решение

Дан треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Точки $K$, $L$, $M$ – середины сторон $AB$, $BC$, $CA$ соответственно, $N$ – точка на стороне $AB$. Прямая $CN$ пересекает $KM$ и $KL$ в точках $P$ и $Q$. Точки $S$, $T$ на сторонах $AC$, $BC$ таковы, что четырехугольники $APQS$, $BPQT$ – вписанные. Докажите, что

а) если $CN$ – биссектриса, то прямые $CN$, $ML$, $ST$ пересекаются в одной точке;

б) если $CN$ – высота, то $ST$ проходит через середину $ML$.

Прислать комментарий

Решение

В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle C=90^{\circ}$) вписанная окружность касается катета $BC$ в точке $K$. Докажите, что хорда вписанной окружности, высекаемая прямой $AK$ в два раза больше, чем расстояние от вершины $C$ до этой прямой.

Прислать комментарий

Решение

Окружность, проходящая через вершину $B$ прямого угла и середину гипотенузы прямоугольного треугольника $ABC$, пересекает катеты этого треугольника в точках $M$ и $N$. Оказалось, что $AC = 2MN$. Докажите, что $M$ и $N$ — середины катетов треугольника $ABC$.

Прислать комментарий

Решение

В прямоугольном треугольнике расстояние от вершины прямого угла до биссектрисы острого равно четверти гипотенузы. Чему могут равняться углы треугольника?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 19 20 21 22 23 24 25 >> [Всего задач: 1363]