Каталог по темам

Задачи

Страница: << 94 95 96 97 98 99 100 >> [Всего задач: 545]

Задача 115897

Темы:	[	Взаимное расположение высот, медиан, биссектрис и проч.	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Теорема Пифагора (прямая и обратная)	]
	[	Вневписанные окружности	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Две пары подобных треугольников	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Блинков А.Д.

Середина стороны треугольника и основание высоты, проведённой к этой стороне, симметричны относительно точки касания этой стороны с вписанной окружностью. Докажите, что эта сторона составляет треть периметра треугольника.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116034

Темы:	[	Описанные четырехугольники	]
	[	Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее)	]
	[	Теорема Пифагора (прямая и обратная)	]
	[	Неравенство треугольника (прочее)	]
	[	Свойства симметрий и осей симметрии	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Автор: Кожевников П.А.

Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD перпендикулярны и пересекаются в точке O. Известно, что сумма радиусов окружностей, вписанных в треугольники AOB и COD, равна сумме радиусов окружностей, вписанных в треугольники BOC и DOA. Докажите, что
а) четырёхугольник ABCD – описанный;
б) четырёхугольник ABCD симметричен относительно одной из своих диагоналей.

Прислать комментарий

Решение

Задача 55041

Темы:	[	Отношение, в котором биссектриса делит сторону	]
	[	Отношение площадей подобных треугольников	]
	[	Теорема Пифагора (прямая и обратная)	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

В равнобедренном треугольнике ABC (AB = AC) проведены биссектрисы AA₁, BB₁ и CC₁. Площадь треугольника ABC относится к площади треугольника A₁B₁C₁ как ${\frac{9}{2}}$ . Найдите отношение периметра треугольника A₁B₁C₁ к периметру треугольника ABC.

Прислать комментарий Решение

Задача 53024

Темы:	[	Средняя линия треугольника	]
	[	Проекции оснований, сторон или вершин трапеции	]
	[	Теорема Пифагора (прямая и обратная)	]
	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

В окружность с центром O вписана трапеция ABCD (BC || AD). В этой же окружности проведены диаметр CE и хорда BE, пересекающая AD в точке F. Точка H – основание перпендикуляра, опущенного из точки F на CE, S – середина отрезка EO, M – середина BD. Известно, что радиус окружности равен R, а CH = ^9R/₈. Найдите SM.

Прислать комментарий

Решение

Задача 53025

Темы:	[	Средняя линия треугольника	]
	[	Проекции оснований, сторон или вершин трапеции	]
	[	Теорема Пифагора (прямая и обратная)	]
	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

В окружности с центром O проведены параллельные хорды PQ и RS, диаметр SE и хорда RE. Хорда RE пересекает хорду PQ в точке F, из точки F опущен перпендикуляр FH на SE. Известно, что радиус окружности равен r, а EH = ^3r/₈. Найдите расстояние от середины отрезка EO до середины хорды RQ.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 94 95 96 97 98 99 100 >> [Всего задач: 545]