Страница:
<< 58 59 60 61
62 63 64 >> [Всего задач: 797]
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
В треугольнике $ABC$ точка $M$ – середина дуги $BAC$ описанной окружности $\Omega$, $I$ – центр вписанной окружности, $N$ – вторая точка пересечения прямой $AI$ с $\Omega$, $E$ – точка касания стороны $BC$ с соответствующей вневписанной окружностью, $Q$ – вторая точка пересечения окружности $IMN$ с прямой, проходящей через $I$ и параллельной $BC$. Докажите, что прямые $AE$ и $NQ$ пересекаются на $\Omega$.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
Пусть $O$, $I$ – центры описанной и вписанной окружностей треугольника $ABC$; $R$, $r$ – их радиусы; $D$ – точка касания вписанной окружности со стороной $BC$; $N$ – произвольная точка на отрезке $ID$. Перпендикуляр к $ID$ в точке $N$ пересекает описанную окружность $ABC$ в точках $X$ и $Y$. Пусть $O_1$ – центр описанной окружности $XIY$. Найдите произведение $OO_1\cdot IN$.
На сторонах BC, CA и AB треугольника взяты точки A1,
B1, C1 соответственно, причём радиусы окружностей,
вписанных в треугольники
A1BC1,
AB1C1 и
A1B1C,
равны между собой и равны r. Радиус окружности, вписанной в
треугольник
A1B1C1, равен r1. Найдите радиус окружности,
вписанной в треугольник ABC.
Из вершины C прямого угла прямоугольного треугольника ABC
проведена высота CD, и в треугольники ACD и BCD вписаны окружности
с центрами P и Q. Общая внешняя касательная к этим окружностям
пересекает катеты AC и BC в точках M и N, а высоту CD — в
точке K. Докажите, что:
а) треугольники CMN и CBA подобны;
б) точки C, M, N, P и Q лежат на окружности с центром
K, радиус которой равен радиусу вписанной окружности треугольника
ABC.
Радиус описанной окружности треугольника
ABC равен радиусу окружности,
касающейся стороны
AB в точке
C' и продолжений двух других сторон в точках
A' и
B' . Докажите, что центр описанной окружности треугольника
ABC
совпадает с ортоцентром (точкой пересечения высот) треугольника
A'B'C' .
Страница:
<< 58 59 60 61
62 63 64 >> [Всего задач: 797]
Фильтр
