Страница:
<< 59 60 61 62
63 64 65 >> [Всего задач: 797]
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10,11
|
Дан треугольник
ABC и точка
P внутри него.
A' ,
B' ,
C' –
проекции
P на прямые
BC ,
CA ,
AB . Докажите, что центр окружности,
описанной около треугольника
A'B'C' , лежит внутри треугольника
ABC .
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
|
Вписанная окружность
σ треугольника
ABC касается его сторон
BC ,
AC ,
AB в точках
A' ,
B' ,
C' соответственно. Точки
K и
L на окружности
σ таковы, что
AKB'+ BKA'= ALB'+ BLA'=180
o . Докажите, что прямая
KL равноудалена от точек
A' ,
B' ,
C' .
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 10,11
|
В треугольник ABC вписана окружность ω с центром в точке I. Около треугольника AIB описана окружность Г. Окружности ω и Г пересекаются в точках X и Y. Общие касательные к окружностям ω и Г пересекаются в точке Z. Докажите, что описанные окружности треугольников ABC и XYZ, касаются.
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 10,11
|
Вокруг треугольника ABC описали окружность k. На сторонах треугольника отметили три точки A1, B1 и C1, после чего сам треугольник стёрли. Докажите, что его можно однозначно восстановить тогда и только тогда, когда прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке.
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
|
Дан фиксированный треугольник ABC. Пусть D – произвольная точка в плоскости треугольника, не совпадающая с его вершинами. Окружность с центром в D, проходящая через A, пересекает вторично прямые AB и AC в точках Ab и Ac соответственно. Аналогично определяются точки Ba, Bc, Ca и Cb. Точку D назовём хорошей, если точки Ab, Ac, Ba, Bc, Ca и Cb лежат на одной окружности.
Сколько может оказаться точек, хороших для данного треугольника ABC?
Страница:
<< 59 60 61 62
63 64 65 >> [Всего задач: 797]
Фильтр
