Страница:
<< 219 220 221 222
223 224 225 >> [Всего задач: 1337]
Дана правильная треугольная пирамида SABC, ребро основания которой равно 1. Из вершин A и B основания ABC проведены медианы боковых граней, не имеющие общих точек. Известно, что на прямых, содержащих эти медианы, лежат рёбра некоторого куба. Найдите длину бокового ребра пирамиды.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 9,10
|
Пусть ABCD – вписанный четырёхугольник. Докажите, что AC > BD тогда и только тогда, когда (AD – BC)(AB – CD) > 0.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
|
Окружности ω1 и ω2 пересекаются в точках A и B. Точки K1 и K2 на ω1 и ω2 соответственно таковы, что K1A касается ω2, а K2A касается ω1. Описанная окружность треугольника K1BK2 пересекает вторично прямые AK1 и AK2 в точках L1 и L2 соответственно. Докажите, что точки L1 и L2 равноудалены от прямой AB.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 10,11
|
Точка касания вневписанной окружности со стороной треугольника и основание высоты, проведённой к этой стороне, симметричны относительно основания биссектрисы, проведённой к этой же стороне. Докажите, что эта сторона составляет треть периметра треугольника.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11
|
В остроугольном треугольнике ABC AA1, BB1 и CC1 – высоты. Прямые AA1 и B1C1 пересекаются в точке K. Окружности, описанные вокруг треугольников A1KC1 и A1KB1, вторично пересекают прямые AB и AC в точках N и L соответственно. Докажите, что
а) сумма диаметров этих окружностей равна стороне BC.
б) 
Страница:
<< 219 220 221 222
223 224 225 >> [Всего задач: 1337]
Тема:
Все темы
>>
Геометрия
>>
Планиметрия
>>
Треугольники
>>
Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников. Решение треугольников.
