Страница: << 101 102 103 104 105 106 107 >> [Всего задач: 1337]      

Хорда окружности удалена от центра на расстояние h. В каждый из сегментов, стягиваемых хордой, вписан квадрат так, что две соседние вершины квадрата лежат на дуге, а две другие — на хорде или ее продолжении (рис.). Чему равна разность длин сторон этих квадратов?

Прислать комментарий

Решение

В окружность вписан квадрат, а в сегмент, отсеченный от круга из сторон этого квадрата, вписан другой квадрат. Найдите отношение длин сторон этих квадратов.

Прислать комментарий

Решение

Окружность $\omega$, вписанная в неравнобедренный треугольник $ABC$, касается его сторон $BC, CA$ и $AB$ в точках $D, E$ и $F$ соответственно. Точка $M$ на луче $EF$ такова, что $EM = AB$. Точка $N$ на луче $FE$ такова, что $FN = AC$. Окружности $BFM$ и $CEN$ повторно пересекают $\omega$ в точках $S$ и $T$ соответственно. Докажите, что прямые $BS, CT$ и $AD$ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Пусть $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ – высоты остроугольного треугольника $ABC$; $I_a$ – центр вневписанной окружности, соответствующей вершине $A$; $I'_a$ – точка, симметричная $I_a$ относительно прямой $AA_1$. Аналогично построим точки $I'_b$, $I'_c$. Докажите, что прямые $A_1I'_a$, $B_1I'_b$, $C_1I'_c$ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

В остроугольном треугольнике ABC биссектриса AD делит пополам отрезок OH, где O — центр описанной окружности, H — точка пересечения высот. Известно, что AC = 2, AD = + - 1. Найдите радиус описанной около треугольника ABC окружности.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 101 102 103 104 105 106 107 >> [Всего задач: 1337]