Страница: << 83 84 85 86 87 88 89 >> [Всего задач: 532]      

Пусть ABCD – вписанный четырёхугольник. Докажите, что  AC > BD  тогда и только тогда, когда  (AD – BC)(AB – CD) > 0.

Прислать комментарий

Решение

Окружности ω₁ и ω₂ пересекаются в точках A и B. Точки K₁ и K₂ на ω₁ и ω₂ соответственно таковы, что K₁A касается ω₂, а K₂A касается ω₁. Описанная окружность треугольника K₁BK₂ пересекает вторично прямые AK₁ и AK₂ в точках L₁ и L₂ соответственно. Докажите, что точки L₁ и L₂ равноудалены от прямой AB.

Прислать комментарий

Решение

В остроугольном треугольнике ABC  AA₁, BB₁ и CC₁ – высоты. Прямые AA₁ и B₁C₁ пересекаются в точке K. Окружности, описанные вокруг треугольников A₁KC₁ и A₁KB₁, вторично пересекают прямые AB и AC в точках N и L соответственно. Докажите, что
  а) сумма диаметров этих окружностей равна стороне BC.

  б)  

Прислать комментарий

Решение

В остроугольном треугольнике АBC через центр I вписанной окружности и вершину А провели прямую, пересекающую описанную окружность в точке P. Найдите IP, если  ∠А = α,  а радиус описанной окружности равен R.

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике ABC точка X лежит на стороне AB, а точка Y – на стороне BC. Отрезки AY и CX пересекаются в точке Z. Известно, что  AY = CY  и
AB = CZ.  Докажите, что точки B, X, Z и Y лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 83 84 85 86 87 88 89 >> [Всего задач: 532]