Каталог по темам

Задачи

Страница: << 43 44 45 46 47 48 49 >> [Всего задач: 377]

Задача 57429

Тема:

[

Неравенства с биссектрисами

]

Сложность: 5+
Классы: 8,9

Докажите, что

l_a²l_b² + l_b²l_c² + l_a²l_c² $\displaystyle \le$ rp²(4R + r).

Прислать комментарий

Решение

Задача 57462

Тема:

[

Неравенства для углов треугольника

]

Сложность: 5+
Классы: 9

Из медиан треугольника с углами $\alpha$ , $\beta$ и $\gamma$ составлен треугольник с углами $\alpha_{m}^{}$ , $\beta_{m}^{}$ и $\gamma_{m}^{}$ (угол $\alpha_{m}^{}$ лежит против медианы AA₁ и т. д.) Докажите, что если $\alpha$ > $\beta$ > $\gamma$ , то $\alpha$ > $\alpha_{m}^{}$ , $\alpha$ > $\beta_{m}^{}$ , $\gamma_{m}^{}$ > $\beta$ > $\alpha_{m}^{}$ , $\beta_{m}^{}$ > $\gamma$ и $\gamma_{m}^{}$ > $\gamma$ .

Прислать комментарий Решение

Задача 57469

Тема:

[

Неравенства для площади треугольника

]

Сложность: 5+
Классы: 9

На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A₁, B₁ и C₁. Докажите, что площадь одного из треугольников AB₁C₁, A₁BC₁, A₁B₁C не превосходит:
а) S_ABC/4;
б) S_A₁B₁C₁.

Прислать комментарий Решение

Задача 57491

Тема:

[

Неравенства для остроугольных треугольников

]

Сложность: 5+
Классы: 8

Пусть h — наибольшая высота нетупоугольного треугольника. Докажите, что r + R $\leq$ h.

Прислать комментарий Решение

Задача 57415

Тема:

[

Неравенства с медианами

]

Сложность: 6
Классы: 8,9

Пусть x = ab + bc + ca, x₁ = m_am_b + m_bm_c + m_cm_a. Докажите, что 9/20 < x₁/x < 5/4.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 43 44 45 46 47 48 49 >> [Всего задач: 377]