Каталог по темам

Задачи

Страница: << 44 45 46 47 48 49 50 >> [Всего задач: 377]

Задача 57434

Тема:

[

Длины сторон (неравенства)

]

Сложность: 6
Классы: 8,9

Докажите, что 20Rr - 4r² $\leq$ ab + bc + ca $\leq$ 4(R + r)².

Прислать комментарий Решение

Задача 57443

Тема:

[

Неравенства с описанными, вписанными и вневписанными окружностями

]

Сложность: 6
Классы: 8,9

Докажите, что
а) 5R - r $\geq$ $\sqrt{3}$ p;
б) 4R - r_a $\geq$ (p - a)[ $\sqrt{3}$ + (a² + (b - c)²)/(2S)].

Прислать комментарий Решение

Задача 57492

Тема:

[

Неравенства для остроугольных треугольников

]

Сложность: 6
Классы: 8

На сторонах BC, CA и AB остроугольного треугольника ABC взяты точки A₁, B₁ и C₁. Докажите, что

2(B₁C₁cos $\displaystyle \alpha$ + C₁A₁cos $\displaystyle \beta$ + A₁B₁cos $\displaystyle \gamma$ ) $\displaystyle \geq$ a cos $\displaystyle \alpha$ + b cos $\displaystyle \beta$ + c cos $\displaystyle \gamma$ .

Прислать комментарий

Решение

Задача 110151

Темы:	[	Неравенства для углов треугольника	]
	[	Тригонометрические неравенства	]
	[	Монотонность и ограниченность	]

Сложность: 6+
Классы: 10,11

Автор: Сендеров В.А.

При каких натуральных n для любых чисел α , β , γ , являющихся величинами углов остроугольного треугольника, справедливо неравенство

sin nα + sin nβ + sin nγ<0?

Прислать комментарий

Решение

Задача 57444

Тема:

[

Неравенства с описанными, вписанными и вневписанными окружностями

]

Сложность: 6+
Классы: 8,9

Докажите, что 16Rr - 5r² $\leq$ p² $\leq$ 4R² + 4Rr + 3r².

Прислать комментарий Решение

Страница: << 44 45 46 47 48 49 50 >> [Всего задач: 377]