Каталог по темам

Задачи

Страница: << 45 46 47 48 49 50 51 >> [Всего задач: 377]

Задача 57445

Тема:

[

Неравенства с описанными, вписанными и вневписанными окружностями

]

Сложность: 6+
Классы: 8,9

Докажите, что r_a² + r_b² + r_c² $\geq$ 27R²/4.

Прислать комментарий Решение

Задача 57466

Тема:

[

Неравенства для площади треугольника

]

Сложность: 7
Классы: 9

Пусть a, b, c и a', b', c' — длины сторон треугольников ABC и A'B'C', S и S' — их площади. Докажите, что

a²(- a'² + b'² + c'²) + b²(a'² - b'² + c'²) + c²(a'² + b'² - c'²) $\displaystyle \ge$ 16SS',

причём равенство достигается тогда и только тогда, когда эти треугольники подобны (Пидо).

Прислать комментарий

Решение

Задача 57430

Тема:

[

Неравенства с биссектрисами

]

Сложность: 8
Классы: 8,9

Докажите, что l_a + l_b + m_c $\leq$ $\sqrt{3}$ p.

Прислать комментарий Решение

Задача 34875

Темы:	[	Принцип Дирихле (углы и длины)	]
	[	Отрезок внутри треугольника меньше наибольшей стороны	]
	[	Правильные многоугольники	]
	[	Шестиугольники	]

Сложность: 2+
Классы: 7,8,9

Внутри правильного шестиугольника со стороной 1 расположено 7 точек. Докажите, что среди них найдутся две точки на расстоянии не больше 1.

Прислать комментарий

Решение

Задача 77937

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
Темы:	[	Неравенства для углов треугольника	]

Сложность: 2+
Классы: 8,9

В $\Delta$ ABC вписана окружность, которая касается его сторон в точках L, M и N. Докажите, что $\Delta$ LMN всегда остроугольный (независимо от вида $\Delta$ ABC).

Прислать комментарий Решение

Страница: << 45 46 47 48 49 50 51 >> [Всего задач: 377]