В треугольнике ABC точка D лежит на стороне BC, прямая AD пересекается с биссектрисой угла C в точке O. Известно, что точки C, D и O лежат на окружности, центр которой находится на стороне AC,  AC : AB = 3 : 2,  а угол DAC в три раза больше угла DAB. Найдите косинус угла ACB.

   Решение

Точки A₁, B₁, C₁ выбраны на сторонах BC, CA и AB треугольника ABC соответственно. Оказалось, что  AB₁ – AC₁ = CA₁ – CB₁ = BC₁ – BA₁.  Пусть I_A, I_B и I_C – центры окружностей, вписанных в треугольники AB₁C₁, A₁BC₁ и A₁B₁C, соответственно. Докажите, что центр описанной окружности треугольника I_AI_BI_C совпадает с центром вписанной окружности треугольника ABC.

   Решение

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 122]      

Внутри треугольника ABC отмечена точка M так, что при этом  ∠BAM = ∠B,  ∠AMB = 100°,  ∠C = 70°.  Докажите, что  BM < AC.

Прислать комментарий

Решение

Точка O — центр описанной окружности вписанного четырёхугольника ABCD . Известно, что ABC > ADC и AOC = BAD = 110^o . Докажите, что AB+AD>CD .

Прислать комментарий

Решение

Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке M . Пусть P и Q — центры окружностей, описанных вокруг треугольников ABM и CDM . Докажите, что AB+CD < 4PQ

Прислать комментарий

Решение

В выпуклом четырёхугольнике ABCD равны углы при вершинах A и B . Известно также, что BC=1 и AD=3 . Докажите, что CD>2 .

Прислать комментарий

Решение

На плоскости даны точки A и B. Найдите геометрическое место точек C, для которых C > B и треугольник ABC:

а) остроугольный;

б) тупоугольный.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 122]