Страница: << 13 14 15 16 17 18 19 >> [Всего задач: 92]      

Внутри угла с вершиной M отмечена точка A. Из этой точки выпустили шар, который отразился от одной стороны угла в точке B, затем от другой стороны в точке C и вернулся в A ("угол падения" равен "углу отражения", см. рис.). Докажите, что центр O описанной окружности треугольника BCM лежит на прямой AM. (Шар считайте точкой.)

Прислать комментарий

Решение

Вписанная окружность касается сторон BC, AC и AB треугольника ABC в точках A₁, B₁ и C₁ соответственно. Точки A₂, B₂ и C₂ – центры окружностей, вписанных в треугольники соответственно AB₁C₁, BA₁C₁ и CA₁B₁ соответственно. Докажите, что прямые A₁A₂, B₁B₂ и C₁C₂ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Остроугольный треугольник ABC вписан в окружность ω. Касательные к ω, проведённые через точки B и C, пересекают касательную к ω, проведённую через точку A, в точках K и L соответственно. Прямая, проведённая через K параллельно AB, пересекается с прямой, проведённой через L параллельно AC, в точке P. Докажите, что  BP = CP.

Прислать комментарий

Решение

Точка E – середина той дуги AB описанной окружности треугольника ABC, на которой лежит точка C; C₁ – середина стороны AB. Из точки E опущен перпендикуляр EF на AC. Докажите, что:
  а) прямая C₁F делит пополам периметр треугольника ABC;
  б) три такие прямые, построенные для каждой стороны треугольника, пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Пусть окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается его сторон $AB$, $BC$ и $AC$ в точках $K$, $L$ и $M$ соответственно. К окружностям, вписанным в треугольники $BKL$, $CLM$ и $AKM$ проведены попарно общие внешние касательные, отличные от сторон треугольника $ABC$. Докажите, что эти касательные пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 13 14 15 16 17 18 19 >> [Всего задач: 92]