Страница:
<< 52 53 54 55
56 57 58 >> [Всего задач: 333]
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10
|
Докажите, что если натуральное число N представляется в виде суммы трёх квадратов целых чисел, делящихся на 3, то оно также представляется в виде суммы трёх квадратов целых чисел, не делящихся на 3.
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
|
Тест состоит из 30 вопросов, на каждый есть два варианта ответа (один верный, другой нет). За одну попытку Витя отвечает на все вопросы, после чего ему сообщают, на сколько вопросов он ответил верно. Сможет ли Витя действовать так, чтобы гарантированно узнать все верные ответы не позже, чем
а) после 29-й попытки (и ответить верно на все вопросы при 30-й попытке);
б) после 24-й попытки (и ответить верно на все вопросы при 25-й попытке)?
(Изначально Витя не знает ни одного ответа, тест всегда один и тот же.)
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
|
Для положительных чисел x1, x2, ..., xn докажите неравенство 
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 10,11
|
Определим последовательности чисел (xn) и
(dn) условиями x1 = 1, xn+1 = [ 
], dn = x2n+1 – 2x2n–1 (n ≥ 1).
Докажите, что число 
в двоичной системе счисления представляется в виде (d1,d2d3...)2.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 10,11
|
Предположим, что цепные дроби 
сходятся. Согласно задаче 61330, они будут сходиться к
корням многочлена x² – px + q = 0. С другой стороны к тем же корням будут сходиться и последовательности, построенные по методу Ньютона (см. задачу
61328):
xn+1 = xn – 
= 
. Докажите, что если x0 совпадает с нулевой подходящей дробью цепной дроби α или β, то числа x1, x2, ... также будут совпадать с подходящими дробями к α или β.
Страница:
<< 52 53 54 55
56 57 58 >> [Всего задач: 333]
Фильтр
Решение 
