Страница: << 1 2 3 4 [Всего задач: 20]      

Дан остроугольный треугольник ABC и точка P, не совпадающая с точкой пересечения его высот. Докажите, что окружности, проходящие через середины сторон треугольников PAB, PAC, PBC и ABC, а также окружность, проходящая через проекции точки P на стороны треугольника ABC, пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Пусть O_a, O_b и O_c – центры описанных окружностей треугольников PBC, PCA и PAB.
Докажите, что если точки O_a и O_b лежат на прямых PA и PB, то точка O_c лежит на прямой PC.

Прислать комментарий

Решение

Равносторонний треугольник ABC вписан в окружность Ω и описан вокруг окружности ω. На сторонах AC и AB выбраны точки P и Q соответственно так, что отрезок PQ проходит через центр O треугольника ABC. Окружности Г_b и Г_c построены на отрезках BP и CQ как на диаметрах.
Докажите, что окружности Г_b и Г_c пересекаются в двух точках, одна из которых лежит на Ω, а другая – на ω.

Прислать комментарий

Решение

Дан четырёхугольник KLMN. Окружность с центром O пересекает его сторону KL в точках A и A₁, сторону LM в точках B и B₁, и т.д. Докажите что
  а) если описанные окружности треугольников KDA, LAB, MBC и NCD пересекаются в одной точке P, то описанные окружности треугольников KD₁A₁, LA₁B₁, MB₁C₁ и NC₁D₁ также пересекаются в одной точке Q;
  б) точка O лежит на серединном перпендикуляре к PQ.

Прислать комментарий

Решение

Центр O описанной окружности четырёхугольника ABCD не лежит на диагоналях этого четырёхугольника. Прямые AB и CD пересекаются в точке E, а прямые AD и BC – в точке F.
  а) Докажите все шесть описанных окружностей треугольников ABF, CDF, BEC, ADE, BOD и AOC пересекаются в некоторой точке K.
  б) Верно ли, что точка K лежит на прямой EF, а прямые EF и OK перпендикулярны?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 [Всего задач: 20]