Каталог по темам

Задачи

Страница: << 78 79 80 81 82 83 84 >> [Всего задач: 1036]

Задача 66953

Темы:	[	Общая касательная к двум окружностям	]
	[	Радикальная ось	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Отрезок, видимый из двух точек под одним углом	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Севастьянов С.

Дан остроугольный треугольник $ABC$. Точки $A_0$ и $C_0$ – середины меньших дуг соответственно $BC$ и $AB$ его описанной окружности. Окружность, проходящая через $A_0$ и $C_0$, пересекает прямые $AB$ и $BC$ в точках $P$ и $S$, $Q$ и $R$ соответственно (все эти точки различны). Известно, что $PQ\parallel AC$. Докажите, что $A_0P+C_0S=C_0Q+A_0R$

Прислать комментарий Решение

Задача 67079

Темы:	[	Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть	]
	[	Теоремы Чевы и Менелая	]
	[	Отношение, в котором биссектриса делит сторону	]
	[	Радикальная ось	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Марданов А.

Дан неравнобедренный треугольник $ABC$. Выберем произвольную окружность ω, касающуюся описанной окружности Ω треугольника $ABC$ внутренним образом в точке $B$ и не пересекающую прямую $AC$. Отметим на ω точки $P$ и $Q$ так, чтобы прямые $AP$ и $CQ$ касались ω, а отрезки $AP$ и $CQ$ пересекались внутри треугольника $ABC$. Докажите, что все полученные таким образом прямые $PQ$ проходят через одну фиксированную точку, не зависящую от выбора окружности ω.

Прислать комментарий

Решение

Задача 67553

Темы:	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]
	[	Общая касательная к двум окружностям	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Автор: Бельский К.

Правильный треугольник $ABC$ вписан в окружность $\Omega$. Окружности $\Omega_A$, $\Omega_B$, $\Omega_C$ с центрами $A$, $B$, $C$ соответственно проходят через точку $P$, лежащую на $\Omega$, и касаются одной прямой. Докажите, что существует прямая, касающаяся двух из этих окружностей и проходящая через вершину треугольника $ABC$.

Прислать комментарий Решение

Задача 102403

Темы:	[	Касающиеся окружности	]
Темы:	[	Площадь круга, сектора и сегмента	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

На прямой взяты три различные точки L, M и N (M между L и N, LN $\ne$ MN). На отрезках LM, MN и LN как на диаметрах построены полуокружности, середины которых — соответственно точки A, B и C. Точка C лежит по одну сторону, а точки A и B — по другую сторону от прямой LN. Найдите отношение площади фигуры, ограниченной этими тремя полуокружностями, к площади треугольника ABC.

Прислать комментарий Решение

Задача 102404

Темы:	[	Касающиеся окружности	]
Темы:	[	Площадь круга, сектора и сегмента	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

На прямой взяты три различные точки A, B и C (B между A и C, AB $\ne$ BC). На отрезках AB, BC и AC как на диаметрах построены полуокружности, середины которых — соответственно точки K, L и M. Точка K лежит по одну сторону, а точки L и M — по другую сторону от прямой AC. Найдите отношение площади фигуры, ограниченной этими тремя полуокружностями, к площади треугольника KLM.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 78 79 80 81 82 83 84 >> [Всего задач: 1036]