Страница: << 98 99 100 101 102 103 104 >> [Всего задач: 1036]      

Из точки A проведены касательные AB и AC к окружности и секущая, пересекающая окружность в точках D и E; M — середина отрезка BC. Докажите, что  BM² = DM ^. ME и угол DME в два раза больше угла DBE или угла DCE; кроме того,  BEM = DEC.

Прислать комментарий

Решение

Четырехугольник ABCD вписан в окружность, причем касательные в точках B и D пересекаются в точке K, лежащей на прямой AC.
а) Докажите, что  AB ^. CD = BC ^. AD.
б) Прямая, параллельная KB, пересекает прямые BA, BD и BC в точках P, Q и R. Докажите, что PQ = QR.

Прислать комментарий

Решение

Окружности S₁ и S₂ пересекаются в точках A и B, причем центр O окружности S₁ лежит на S₂. Прямая, проходящая через точку O, пересекает отрезок AB в точке P, а окружность S₂ в точке C. Докажите, что точка P лежит на поляре точки C относительно окружности S₁.

Прислать комментарий

Решение

Окружности $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ касаются друг друга внешним образом и касаются изнутри окружности $\Omega$ в точках $A_1$, $B_1$, $C_1$ соответственно. Общая внутренняя касательная к $\alpha$ и $\beta$ пересекает не содержащую $C_1$ дугу $A_1B_1$ в точке $C_2$. Точки $A_2$, $B_2$ определяются аналогично. Докажите, что прямые $A_1A_2$, $B_1B_2$, $C_1C_2$ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Дана окружность $\omega_1$, а внутри неё — окружность $\omega_2$. Выбирают произвольную окружность $\omega_3$, которая касается двух предыдущих, причём оба касания внутренние. Точки касания соединяют отрезком, а через точку пересечения этого отрезка с окружностью $\omega_2$ проводят касательную к $\omega_2$ и получают хорду окружности $\omega_3$. Докажите, что концы всех таких хорд (полученных при всевозможных выборах окружности $\omega_3$) лежат на фиксированной окружности.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 98 99 100 101 102 103 104 >> [Всего задач: 1036]