Версия для печати
Убрать все задачи

---

Дано 12 целых чисел. Докажите, что из них можно выбрать два, разность которых делится на 11.

   Решение

---

Имеются 552 гири весом 1г, 2г, 3г, ..., 552г. Разложите их на три равные по весу кучки.

   Решение

---

Найдите формулу n-го члена для последовательностей, заданных условиями ( n 0):

a) a0 = 0, a1 = 1, an + 2 = 5an + 1 - 6an;

б) a0 = 1, a1 = 1, an + 2 = 3an + 1 - 2an;

в) a0 = 1, a1 = 1, an + 2 = an + 1 + an;

г) a0 = 1, a1 = 2, an + 2 = 2an + 1 - an;

д) a0 = 0, a1 = 1, an + 2 = 2an + 1 + an.

   Решение

---

Решите в целых числах уравнения:
  а)  3x² + 5y² = 345;
  б)  1 + x + x² + x³ = 2^y.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 125]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 66981

Темы:   [ Радикальная ось ] [ Теорема синусов ] [ ГМТ - окружность или дуга окружности ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Секущая пересекает первую окружность в точках $A_1, B_1$, а вторую – в точках $A_2, B_2$. Вторая секущая пересекает первую окружность в точках $C_1, D_1$, а вторую – в точках $C_2, D_2$. Докажите, что точки $A_1C_1\cap B_2D_2$, $A_1C_1\cap A_2C_2$, $A_2C_2\cap B_1D_1$, $B_2D_2\cap B_1D_1$ лежат на одной окружности, соосной с данными двумя.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108682

Темы:   [ Радикальная ось ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Общая касательная к двум окружностям ] [ Теорема синусов ] [ Вспомогательная окружность ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Точка X, лежащая вне непересекающихся окружностей ω₁ и ω₂, такова, что отрезки касательных, проведённых из X к ω₁ и ω₂, равны. Докажите, что точка пересечения диагоналей четырёхугольника, образованного точками касания, совпадает с точкой пересечения общих внутренних касательных к ω₁ и ω₂.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66784

Темы:   [ Радикальная ось ] [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

В треугольнике $ABC$ $AH_1$ и $BH_2$ – высоты; касательная к описанной окружности в точке $A$ пересекает $BC$ в точке $S_1$, а касательная в точке $B$ пересекает $AC$ в точке $S_2$; $T_1$ и $T_2$ – середины отрезков $AS_1$ и $BS_2$. Докажите, что $T_1T_2$, $AB$ и $H_1H_2$ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66808

Темы:   [ Радикальная ось ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Вписанная окружность $\omega$ треугольника $ABC$ касается его сторон $AC$ и $AB$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Точки $X,Y$ на $\omega$ таковы, что $\angle BXC=\angle BYC=90^\circ$. Докажите, что прямые $EF$ и $XY$ пересекаются на средней линии треугольника $ABC$.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 56714

Темы:   [ Радикальная ось ] [ Метод координат на плоскости ]

Сложность: 5 Классы: 8,9,10

На плоскости даны две неконцентрические окружности S₁ и S₂. Докажите, что геометрическим местом точек, для которых степень относительно S₁ равна степени относительно S₂, является прямая.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 125]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями