Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 125]
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
|
Дан треугольник $ABC$ и окружности $\omega_1$, $\omega_2$, $\omega_3$, $\omega_4$ с центрами $X$, $Y$, $Z$, $T$ соответственно такие, что каждая из прямых $BC$, $CA$, $AB$ высекает на них четыре равных отрезка. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника $ABC$ делит отрезок с концами в $X$ и радикальном центре $\omega_2$, $\omega_3$, $\omega_4$ в отношении $2:1$, считая от $X$.
Даны две окружности. Общая внешняя касательная касается их
в точках A и B . Точки X , Y на окружностях таковы, что
существует окружность, касающаяся данных в этих точках, причем
одинаковым образом (внешним или внутренним). Найдите
геометрическое место точек пересечения прямых AX и BY .
|
|
|
Сложность: 5+
Классы: 9,10,11
|
Дана окружность и точка P внутри нее,
отличная от центра. Рассматриваются пары окружностей, касающиеся
данной изнутри и друг друга в точке P . Найдите геометрическое
место точек пересечения общих внешних касательных к этим
окружностям.
а) В треугольнике ABC проведены высоты AA1, BB1
и CC1. Прямые AB и A1B1, BC и B1C1, CA и C1A1
пересекаются в точках C', A' и B'. Докажите, что точки A', B'
и C' лежат на радикальной оси окружности девяти
точек и описанной окружности.
б) Биссектрисы внешних углов треугольника ABC пересекают
продолжения противоположных сторон в точках A', B'
и C'. Докажите, что точки A', B' и C' лежат на одной
прямой, причем эта прямая перпендикулярна прямой, соединяющей
центры вписанной и описанной окружностей треугольника ABC.
|
[Теорема Брианшона]
|
|
Сложность: 6
Классы: 8,9,10
|
Докажите, что диагонали AD, BE и CF описанного
шестиугольника ABCDEF пересекаются в одной точке (Брианшон).
Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 125]
Фильтр
