Страница: << 10 11 12 13 14 15 16 >> [Всего задач: 127]      

Хорды $A_1A_2$ и $B_1B_2$ пересекаются в точке $D$. Прямая $A_1B_1$ пересекает серединный перпендикуляр к отрезку $DD'$, где точка $D'$ инверсна к $D$, в точке $C$. Докажите, что $CD\parallel A_2B_2$.

Прислать комментарий

Решение

Точка $H$ – ортоцентр треугольника ${\sf T}$. Стороны треугольника ${\sf T}_1$ проходят через середины сторон треугольника ${\sf T}$ и перпендикулярны соответствующим биссектрисам ${\sf T}$. Вершины треугольника ${\sf T}_2$ являются серединами биссектрис треугольника ${\sf T}$. Докажите, что прямые, соединяющие $H$ с вершинами треугольника ${\sf T}_1$ перпендикулярны сторонам треугольника ${\sf T}_2$.

Прислать комментарий

Решение

Даны четыре точки A , B , C , D . Известно, что любые две окружности, одна из которых проходит через A и B , а другая — через C и D , пересекаются. Докажите, что общие хорды всех таких пар окружностей проходят через одну точку.

Прислать комментарий

Решение

Вписанная окружность σ треугольника ABC касается его сторон BC , AC , AB в точках A' , B' , C' соответственно. Точки K и L на окружности σ таковы, что AKB'+ BKA'= ALB'+ BLA'=180^o . Докажите, что прямая KL равноудалена от точек A' , B' , C' .

Прислать комментарий

Решение

Даны окружности $\Omega$ и $\omega_a$, являющиеся соответственно описанной и $A-$вневписанной для некоторого треугольника $ABC$. Пусть $I_b$, $I_c$ – центры двух других вневписанных окружностей, а $A_b$, $A_c$ – точки касания продолжений сторон $AB$, $AC$ с $\omega_a$. Докажите, что точка пересечения прямых $A_bI_b$ и $A_cI_c$ не зависит от треугольника $ABC$.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 10 11 12 13 14 15 16 >> [Всего задач: 127]