Каталог по темам

Задачи

Страница: << 10 11 12 13 14 15 16 >> [Всего задач: 78]

Задача 109911

Темы:	[	Неравенства с трехгранными углами	]
	[	Четырехугольная пирамида	]
	[	Тетраэдр (прочее)	]
	[	Сумма внутренних и внешних углов многоугольника	]
	[	Выпуклые многоугольники	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Авторы: Агаханов Н.Х., Карасев Р.

Существуют ли выпуклая n -угольная ( n 4 ) и треугольная пирамиды такие, что четыре трехгранных угла n -угольной пирамиды равны трехгранным углам треугольной пирамиды?

Прислать комментарий Решение

Задача 67155

Темы:	[	Теория алгоритмов (прочее)	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Шахматные доски и шахматные фигуры	]
	[	Сумма внутренних и внешних углов многоугольника	]
	[	Теорема Пика	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Автор: Грибалко А.В.

Пусть $n$ > 1 – целое число. В одной из клеток бесконечной белой клетчатой доски стоит ладья. Каждым ходом она сдвигается по доске ровно на $n$ клеток по вертикали или по горизонтали, закрашивая пройденные $n$ клеток в чёрный цвет. Сделав несколько таких ходов, не проходя никакую клетку дважды, ладья вернулась в исходную клетку. Чёрные клетки образуют замкнутый контур. Докажите, что число белых клеток внутри этого контура даёт при делении на $n$ остаток 1.

Прислать комментарий Решение

Задача 73665

Темы:	[	Системы точек	]
	[	Метод ГМТ	]
	[	Метод ГМТ в пространстве	]
	[	Сумма внутренних и внешних углов многоугольника	]
	[	Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости)	]
	[	Движение помогает решить задачу	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Объем помогает решить задачу	]

Сложность: 10-
Классы: 9,10,11

Автор: Гальперин Г.А.

Какое наибольшее число точек можно разместить a) на плоскости; б)* в пространстве так, чтобы ни один из треугольников с вершинами в этих точках не был тупоугольным?
(Разумеется, в условии подразумевается, что никакие три точки не должны лежать на одной прямой – без этого ограничения можно разместить сколько угодно точек.)

Прислать комментарий Решение

Задача 64944

Темы:	[	Признаки и свойства параллелограмма	]
	[	Средняя линия треугольника	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]
	[	Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле.	]
	[	Сумма внутренних и внешних углов многоугольника	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Вершину A параллелограмма ABCD соединили отрезками с серединами сторон BC и CD. Один из этих отрезков оказался вдвое длиннее другого. Определите, каким является угол ВАD: острым, прямым или тупым.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66015

Темы:	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Пересекающиеся окружности	]
	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]
	[	Сумма внутренних и внешних углов многоугольника	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Авторы: Акопян А.В., Кожевников П.А.

Равносторонний треугольник ABC вписан в окружность Ω и описан вокруг окружности ω. На сторонах AC и AB выбраны точки P и Q соответственно так, что отрезок PQ касается ω. Окружность Ω_b с центром P проходит через вершину B, а окружность Ω_c с центром Q – через C. Докажите, что окружности Ω, Ω_b и Ω_c имеют общую точку.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 10 11 12 13 14 15 16 >> [Всего задач: 78]