ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 73]      



Задача 57099

Тема:   [ Вписанные и описанные многоугольники ]
Сложность: 5+
Классы: 9

Некоторые стороны выпуклого многоугольника красные, остальные синие. Сумма длин красных сторон меньше половины периметра, и нет ни одной пары соседних синих сторон. Докажите, что в этот многоугольник нельзя вписать окружность.
Прислать комментарий     Решение


Задача 57094

Тема:   [ Вписанные и описанные многоугольники ]
Сложность: 6
Классы: 9

Положительные числа  a1,..., an таковы, что  2ai < a1 + ... + an при всех  i = 1,..., n. Докажите, что существует вписанный n-угольник, длины сторон которого равны  a1,..., an.
Прислать комментарий     Решение


Задача 61335

 [Метод Архимеда]
Темы:   [ Окружности (прочее) ]
[ Вписанные и описанные многоугольники ]
[ Правильные многоугольники ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Применение тригонометрических формул (геометрия) ]
[ Тождественные преобразования (тригонометрия) ]
Сложность: 3
Классы: 9,10,11

Рассмотрим окружность радиуса 1. Опишем около нее и впишем в нее правильные n-угольники. Обозначим их периметры через Pn (для описанного) и pn (для вписанного).
   а) Найдите P4, p4, P6 и p6.
   б) Докажите, что справедливы следующие рекуррентные соотношения:    P2n = ,        p2n =         (n ≥ 3).
   в) Найдите P96 и p96. Докажите неравенства   310/71 < π < 31/7.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65796

Темы:   [ Пятиугольники ]
[ Вписанные и описанные многоугольники ]
[ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

Пятиугольник ABCDE вписан в окружность, причём  ∠B + ∠E = ∠C + ∠D.  Докажите, что  ∠CAD < π/3 < ∠A.

Прислать комментарий     Решение

Задача 66564

Темы:   [ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ]
[ Вписанные и описанные многоугольники ]
Сложность: 3
Классы: 9,10,11

Существует ли вписанный в окружность $19$-угольник, у которого нет одинаковых по длине сторон, а все углы выражаются целым числом градусов?
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 73]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .