Каталог по темам

Задачи

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 241]

Задача 57696

Тема:

[

Скалярное произведение. Соотношения

]

Сложность: 4
Классы: 9

Пусть a₁,...,a_n — векторы сторон n-угольника, $\varphi_{ij}^{}$ = $\angle$ (a_i,a_j). Докажите, что a₁² = a₂² +...+ a_n² + 2 $\sum\limits_{i>j>1}^{}$ a_ia_jcos $\varphi_{ij}^{}$ , где a_i = |a_i|.

Прислать комментарий Решение

Задача 57697

[Теорема Гаусса]

Тема:

[

Скалярное произведение. Соотношения

]

Сложность: 4
Классы: 9

Дан четырехугольник ABCD. Пусть u = AD², v = BD², w = CD², U = BD² + CD² - BC², V = AD² + CD² - AC², W = AD² + BD² - AB². Докажите, что uU² + vV² + wW² = UVW + 4uvw.

Прислать комментарий Решение

Задача 57698

Тема:

[

Скалярное произведение. Соотношения

]

Сложность: 4
Классы: 9

Точки A, B, C и D таковы, что для любой точки M числа ( $\overrightarrow{MA}$ , $\overrightarrow{MB}$ ) и ( $\overrightarrow{MC}$ , $\overrightarrow{MD}$ ) различны. Докажите, что $\overrightarrow{AC}$ = $\overrightarrow{DB}$ .

Прислать комментарий Решение

Задача 57703

Тема:

[

Неравенства с векторами

]

Сложность: 4
Классы: 9

Десять векторов таковы, что длина суммы любых девяти их них меньше длины суммы всех десяти векторов. Докажите, что существует ось, проекция на которую каждого из десяти векторов положительна.

Прислать комментарий Решение

Задача 57704

Тема:

[

Неравенства с векторами

]

Сложность: 4
Классы: 9

Точки A₁,..., A_n лежат на окружности с центром O, причем $\overrightarrow{OA_1}$ +...+ $\overrightarrow{OA_n}$ = $\overrightarrow{0}$ . Докажите, что для любой точки X справедливо неравенство XA₁ +...+ XA_n $\ge$ nR, где R — радиус окружности.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 241]