Каталог по темам

Задачи

Страница: << 57 58 59 60 61 62 63 >> [Всего задач: 386]

Задача 67156

Темы:	[	Центральная симметрия (прочее)	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Поворот помогает решить задачу	]
	[	Векторы помогают решить задачу	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Автор: Бакаев Е.В.

На сторонах правильного девятиугольника $ABCDEFGHI$ во внешнюю сторону построили треугольники $XAB$, $YBC$, $ZCD$ и $TDE$. Известно, что углы $X$, $Y$, $Z$, $T$ этих треугольников равны $20^{\circ}$ каждый, а среди углов $XAB$, $YBC$, $ZCD$ и $TDE$ каждый следующий на $20^{\circ}$ больше предыдущего. Докажите, что точки $X$, $Y$, $Z$, $T$ лежат на одной окружности.

Прислать комментарий Решение

Задача 67377

Темы:	[	Прямая Эйлера и окружность девяти точек	]
	[	Точка Микеля	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Инверсия помогает решить задачу	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Теорема синусов	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Авторы: Векшин М., Кузнецов С.

Точка $I$ – центр вписанной окружности треугольника $ABC$. Прямые, проходящие через точку $A$ параллельно $BI$, $CI$ пересекают серединный перпендикуляр к $AI$ в точках $S$, $T$ соответственно. Прямые $BT$ и $CS$ пересекаются в точке $Y$, а точка $A^*$ такова, что $BICA^*$ параллелограмм. Докажите, что середина отрезка $YA^*$ лежит на вневписанной окружности, касающейся стороны $BC$.

Прислать комментарий Решение

Задача 67495

Темы:	[	Касающиеся окружности	]
	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Кожевников П.А.

Дана окружность $\omega_1$, а внутри неё — окружность $\omega_2$. Выбирают произвольную окружность $\omega_3$, которая касается двух предыдущих, причём оба касания внутренние. Точки касания соединяют отрезком, а через точку пересечения этого отрезка с окружностью $\omega_2$ проводят касательную к $\omega_2$ и получают хорду окружности $\omega_3$. Докажите, что концы всех таких хорд (полученных при всевозможных выборах окружности $\omega_3$) лежат на фиксированной окружности.

Прислать комментарий

Решение

Задача 105214

Темы:	[	Прямая Симсона	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Свойства симметрий и осей симметрии	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10

Дан треугольник ABC и точки P и Q, лежащие на его описанной окружности. Точку P отразили относительно прямой BC и получили точку P_a. Точку пересечения прямых QP_a и BC обозначим A'. Точки B' и C' строятся аналогично. Докажите, что точки A', B' и C' лежат на одной прямой.

Прислать комментарий Решение

Задача 111721

Темы:	[	Радикальная ось	]
	[	Пересекающиеся окружности	]
	[	Гомотетичные окружности	]
	[	Композиции гомотетий	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Общая касательная к двум окружностям	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]

Сложность: 5
Классы: 9,10

Даны две окружности. Общая внешняя касательная касается их в точках A и B . Точки X , Y на окружностях таковы, что существует окружность, касающаяся данных в этих точках, причем одинаковым образом (внешним или внутренним). Найдите геометрическое место точек пересечения прямых AX и BY .

Прислать комментарий Решение

Страница: << 57 58 59 60 61 62 63 >> [Всего задач: 386]