Страница: << 11 12 13 14 15 16 17 >> [Всего задач: 372]      

Дан треугольник $ABC$. Точки $A_1$, $A_2$, $B_1$, $B_2$ берутся на его описанной окружности так, что $A_1B_1\parallel AB$, $A_1A_2\parallel BC$, $B_1B_2\parallel AC$. Прямые $AA_2$ и $CA_1$ пересекаются в точке $A'$, а прямые $BB_2$ и $CB_1$ – в точке $B'$. Докажите, что все прямые $A'B'$ проходят через одну точку.

Прислать комментарий

Решение

На плоскости даны два отрезка A₁B₁ и A₂B₂, причём  ^A₂B₂/_A1B1 = k < 1.  На отрезке A₁A₂ взята точка A₃, а на продолжении этого отрезка за точку А₂ – точка А₄ так, что  ^A₃А₂/_А3А1 = ^А₄А₂/_А4А1 = k.  Аналогично на отрезке В₁В₂ берётся точка В₃, а на продолжении этого отрезка за точку В₂ – точка В₄ так, что
^В₃В₂/_В3В1 = ^В₄В₂/_В4В1 = k.  Найти угол между прямыми А₃В₃ и А₄В₄.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что при гомотетии с центром в точке пересечения высот треугольника и коэффициентом описанная окружность треугольника переходит в окружность девяти точек.

Прислать комментарий

Решение

На сторонах AC и BC треугольника ABC отметили точки P и Q соответственно. Оказалось, что AB=AP=BQ=1 , а точка пересечения отрезков AQ и BP лежит на вписанной окружности треугольника ABC . Найдите периметр треугольника ABC .

Прислать комментарий

Решение

На сторонах AB и BC остроугольного треугольника ABC построены как на основаниях равнобедренные треугольники AFB и BLC, причём один из них лежит внутри треугольника ABC, а другой построен во внешнюю сторону. При этом  ∠AFB = ∠BLC  и  ∠CAF = ∠ACL.  Докажите, что прямая FL отсекает от угла ABC равнобедренный треугольник.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 11 12 13 14 15 16 17 >> [Всего задач: 372]