Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 372]      

Докажите, что проекции основания высоты треугольника на стороны, ее заключающие, и на две другие высоты лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

На отрезке AC взята точка B и на отрезках AB, BC, CA построены полуокружности S₁, S₂, S₃ по одну сторону от AC. D — такая точка на S₃, что BD AC. Общая касательная к S₁ и S₂, касается этих полуокружностей в точках F и E соответственно.
а) Докажите, что прямая EF параллельна касательной к S₃, проведенной через точку D.
б) Докажите, что BFDE — прямоугольник.

Прислать комментарий

Решение

Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку A проведена секущая, вторично пересекающаяся с окружностями в точках P и Q. Какую линию описывает середина отрезка PQ, когда секущая вращается вокруг точки A?

Прислать комментарий

Решение

Окружность S касается равных сторон AB и BC равнобедренного треугольника ABC в точках P и K, а также касается внутренним образом описанной окружности треугольника ABC. Докажите, что середина отрезка PK является центром вписанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Окружности S₁,..., S_n проходят через точку O. Кузнечик из точки X_i окружности S_i прыгает в точку X_{i + 1} окружности S_{i + 1} так, что прямая X_iX_{i + 1} проходит через точку пересечения окружностей S_i и S_{i + 1}, отличную от точки O. Докажите, что после n прыжков (с окружности S₁ на S₂, с S₂ на  S₃,..., с S_n на S₁) кузнечик вернется в исходную точку.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 372]