Страница: << 101 102 103 104 105 106 107 >> [Всего задач: 563]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 108145

Темы:   [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Свойства симметрий и осей симметрии ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Пусть O – центр описанной окружности ω остроугольного треугольника ABC. Окружность ω₁ с центром K проходит через точки A, O и C и пересекает стороны AB и BC в точках M и N. Известно, что точки L и K симметричны относительно прямой MN. Докажите, что  BL ⊥ AC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110753

Темы:   [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Точки A', B', C' – основания высот остроугольного треугольника ABC. Окружность с центром B и радиусом BB' пересекает прямую A'C' в точках K и L (точки K и A лежат по одну сторону от BB'). Докажите, что точка пересечения прямых AK и CL лежит на прямой BO, где O – центр описанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115881

Темы:   [ Четырехугольная пирамида ] [ Сфера, вписанная в пирамиду ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Гомотетия помогает решить задачу ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10,11

Дана четырёхугольная пирамида, в которую можно вписать сферу. Точку касания этой сферы с основанием пирамиды спроектировали на рёбра основания. Докажите, что все проекции лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116502

Темы:   [ Признаки подобия ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

На стороне AC треугольника ABC отмечена точка K, причём  AK = 2KC  и  ∠ABK = 2∠KBC.  F – середина стороны AC, L – проекция точки A на BK. Докажите, что прямые FL и BC перпендикулярны.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116747

Темы:   [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Дана окружность и хорда AB, отличная от диаметра. По большей дуге AB движется точка C. Окружность, проходящая через точки A, C и точку H пересечения высот треугольника ABC, повторно пересекает прямую BC в точке P. Докажите, что прямая PH проходит через фиксированную точку, не зависящую от положения точки C.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 101 102 103 104 105 106 107 >> [Всего задач: 563]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями