Страница:
<< 103 104 105 106
107 108 109 >> [Всего задач: 569]
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
На стороне AC треугольника ABC отмечена точка K, причём
AK = 2KC и ∠ABK = 2∠KBC. F – середина стороны AC, L – проекция точки A на BK. Докажите, что прямые FL и BC перпендикулярны.
Дана окружность и хорда AB, отличная от диаметра. По большей дуге
AB движется точка C. Окружность, проходящая через точки A, C и точку H пересечения высот треугольника ABC, повторно пересекает прямую BC в точке P. Докажите, что прямая PH проходит через фиксированную точку, не зависящую от положения точки C.
Пусть
I – точка пересечения биссектрис треугольника
ABC .
Обозначим через
A' ,
B' ,
C' точки, симметричные точке
I
относительно сторон треугольника
ABC . Докажите, что если
окружность, описанная около треугольника
A'B'C' , проходит
через вершину
B , то
ABC = 60
o .
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
|
Дан неравнобедренный остроугольный треугольник ABC, BB1 – его симедиана, луч BB1 вторично пересекает описанную окружность Ω в точке L. Пусть HA, HB, HC – основания высот треугольника ABC, а луч BHB вторично пересекает Ω в точке T. Докажите, что точки HA, HC, T, L лежат на одной окружности.
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
|
Дан треугольник ABC. Рассмотрим три окружности, первая из которых касается описанной окружности Ω в вершине A, а вписанной окружности ω внешним образом в какой-то точке A1. Аналогично определяются точки B1 и C1.
а) Докажите, что прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке.
б) Пусть A2 – точка касания ω со стороной BC. Докажите, что прямые AA1 и AA2 симметричны относительно биссектрисы угла A.
Страница:
<< 103 104 105 106
107 108 109 >> [Всего задач: 569]
Тема:
Все темы
>>
Геометрия
>>
Планиметрия
>>
Преобразования плоскости
>>
Движения
>>
Осевая и скользящая симметрии
