Каталог по темам

Задачи

Страница: << 98 99 100 101 102 103 104 >> [Всего задач: 563]

Задача 66979

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Описанные четырехугольники	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Вспомогательные равные треугольники	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Авторы: Кноп К.А., Челноков Г.Р.

Биссектриса угла $A$ треугольника $ABC$ ($AB>AC$) пересекает описанную окружность в точке $P$. Перпендикуляр к $AC$ в точке $C$ пересекает биссектрису угла $A$ в точке $K$. Окружность с центром в точке $P$ и радиусом $PK$ пересекает меньшую дугу $PA$ описанной окружности в точке $D$. Докажите, что в четырехугольник $ABDC$ можно вписать окружность.

Прислать комментарий Решение

Задача 67059

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Вневписанные окружности	]
	[	Величина угла между двумя хордами и двумя секущими	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Фролов И.И.

Внутри параллелограмма $ABCD$ взята такая точка $P$, что ∠$PDA$ = ∠$PBA$. Пусть Ω – вневписанная окружность треугольника $PAB$, лежащая против вершины $A$, а ω – вписанная окружность треугольника $PCD$. Докажите, что одна из общих касательных к Ω и ω параллельна $AD$.

Прислать комментарий

Решение

Задача 107997

Темы:	[	Плоскость, разрезанная прямыми	]
	[	Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости)	]
	[	Правильные многоугольники	]
	[	Свойства симметрий и осей симметрии	]
	[	Системы отрезков, прямых и окружностей	]
	[	Принцип крайнего	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Автор: Анджанс А.

Даны n точек на плоскости, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Через каждую пару точек проведена прямая. Какое минимальное число попарно непараллельных прямых может быть среди них?

Прислать комментарий

Решение

Задача 108122

Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Вписанный угол равен половине центрального	]
	[	Свойства симметрий и осей симметрии	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Автор: Заславский А.А.

Дан вписанный четырёхугольник ABCD. Точки P и Q симметричны точке C относительно прямых AB и AD соответственно.
Докажите, что прямая PQ проходит через ортоцентр H треугольника ABD.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109956

Темы:	[	Свойства симметрий и осей симметрии	]
	[	Правильные многоугольники	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Композиции симметрий	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Кожевников П.А.

Дан биллиард в форме правильного 1998-угольника A₁A₂...A₁₉₉₈. Из середины стороны A₁A₂ выпустили шар, который, отразившись последовательно от сторон A₂A₃, A₃A₄, ..., A₁₉₉₈A₁ (по закону "угол падения равен углу отражения"), вернулся в исходную точку. Докажите, что траектория шара – правильный 1998-угольник.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 98 99 100 101 102 103 104 >> [Всего задач: 563]