Каталог по темам

Задачи

Страница: << 34 35 36 37 38 39 40 >> [Всего задач: 355]

Задача 108103

Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Кожевников П.А.

Дан треугольник ABC. В нём H – точка пересечения высот, I – центр вписанной окружности, O – центр описанной окружности, K – точка касания вписанной окружности со стороной BC. Известно, что отрезки IO || BC. Докажите, что отрезки AO || HK.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109853

Темы:	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Гомотетичные окружности	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Угол между касательной и хордой	]
	[	Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Скробот Д.

Дан треугольник ABC. Окружность ω касается описанной окружности Ω треугольника ABC в точке A, пересекает сторону AB в точке K, а также пересекает сторону BC. Касательная CL к окружности ω такова, что отрезок KL пересекает сторону BC в точке T. Докажите, что отрезок BT равен по длине касательной, проведённой из точки B к ω.

Прислать комментарий

Решение

Задача 110199

Темы:	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Радикальная ось	]
	[	Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Средняя линия треугольника	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Емельянов Л.А.

AA₁ и BB₁ – высоты остроугольного неравнобедренного треугольника ABC. Известно, что отрезок A₁B₁ пересекает среднюю линию, параллельную AB, в точке C'. Докажите, что отрезок CC' перпендикулярен прямой, проходящей через точку пересечения высот и центр описанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 111568

Темы:	[	Конкуррентность высот. Углы между высотами.	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Свойства симметрий и осей симметрии	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Высоты AA1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H . Точка B0 – середина стороны AC . Докажите, что точка пересечения прямых, симметричных BB0 и HB0 относительно биссектрис углов ABC и AHC соответственно, лежит на прямой A1C1 .

Прислать комментарий Решение

Задача 115330

Темы:	[	Векторы помогают решить задачу	]
Темы:	[	Гомотетия помогает решить задачу	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Внутри треугольника ABC выбрана произвольная точка X . Лучи AX , BX и CX пересекают описанную около треугольника ABC окружность в точках A1 , B1 и C1 соответственно. Точка A2 симметрична точке A1 относительно середины стороны BC . Аналогично определяются точки B2 и C2 . Докажите, что найдётся такая фиксированная точка Y , не зависящая от выбора X , что точки Y , A2 , B2 и C2 лежат на одной окружности.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 34 35 36 37 38 39 40 >> [Всего задач: 355]