Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 342]      

Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку A проведена секущая, вторично пересекающаяся с окружностями в точках P и Q. Какую линию описывает середина отрезка PQ, когда секущая вращается вокруг точки A?

Решение

Пусть O₁ и O₂ — центры данных окружностей (точка P лежит на окружности с центром O₁), O — середина отрезка O₁O₂; P', Q' и O' — проекции точек O₁, O₂ и O на прямую PQ. При вращении прямой PQ точка O' пробегает окружность S с диаметром AO. Ясно, что при гомотетии с центром A и коэффициентом 2 отрезок P'Q' переходит в отрезок PQ, т. е. точка O' переходит в середину отрезка PQ. Поэтому искомым ГМТ является образ окружности S при этой гомотетии.

Прислать комментарий

Окружность S касается равных сторон AB и BC равнобедренного треугольника ABC в точках P и K, а также касается внутренним образом описанной окружности треугольника ABC. Докажите, что середина отрезка PK является центром вписанной окружности треугольника ABC.

Решение

Рассмотрим гомотетию H_B^k с центром B, переводящую отрезок AC в отрезок A'C', касающийся описанной окружности треугольника ABC. Обозначим середины отрезков PK и A'C' через O₁ и D, центр окружности S — через O.
Окружность S является вписанной окружностью треугольника A'BC', поэтому достаточно доказать, что при гомотетии H_B^k точка O₁ переходит в O. Для этого достаточно проверить, что BO₁ : BO = BA : BA'. Это равенство следует из того, что PO₁ и DA — высоты подобных прямоугольных треугольников BPO и BDA'.

Прислать комментарий

Окружности S₁,..., S_n проходят через точку O. Кузнечик из точки X_i окружности S_i прыгает в точку X_{i + 1} окружности S_{i + 1} так, что прямая X_iX_{i + 1} проходит через точку пересечения окружностей S_i и S_{i + 1}, отличную от точки O. Докажите, что после n прыжков (с окружности S₁ на S₂, с S₂ на  S₃,..., с S_n на S₁) кузнечик вернется в исходную точку.

Решение

Пусть P_i — поворотная гомотетия с центром O, переводящая окружность S_i в S_{i + 1}. Тогда X_{i + 1} = P_i(X_i) (см. задачу 19.27). Остается отметить, что композиция P_no...oP₂oP₁ является поворотной гомотетией с центром O, переводящей S₁ в S₁, т. е. она является тождественным преобразованием.

Прислать комментарий

Две окружности пересекаются в точках A и B, а хорды AM и AN касаются этих окружностей. Треугольник MAN достроен до параллелограмма MANC и отрезки BN и MC разделены точками P и Q в равных отношениях. Докажите, что APQ = ANC.

Решение

Так как AMB = NAB и  BAM = BNA, то AMB NAB, а значит, AN : AB = MA : MB = CN : MB. Кроме того, ABM = 180^o - MAN = ANC. Следовательно, AMB ACN, т. е. поворотная гомотетия с центром A, переводящая M в B, переводит C в N, а значит, она переводит Q в P.

Прислать комментарий

Дан квадрат ABCD. Точки P и Q лежат соответственно на сторонах AB и BC, причем BP = BQ. Пусть H — основание перпендикуляра, опущенного из точки B на отрезок PC. Докажите, что DHQ = 90^o.

Решение

Рассмотрим преобразование, переводящее треугольник BHC в треугольник PHB, т. е. композицию поворота на 90^o относительно точки H и гомотетии с коэффициентом BP : CB и центром H. Поскольку при этом преобразовании вершины квадрата переходят в вершины квадрата, а точки C и B переходят в точки B и P, то точка D переходит в точку Q, т. е. DHQ = 90^o.

Прислать комментарий

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 342]