Страница:
<< 7 8 9 10
11 12 13 >> [Всего задач: 122]
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
|
На координатной плоскости нарисованы круги радиусом 1/14 с центрами в каждой
точке, у которой обе координаты — целые числа. Докажите, что любая окружность
радиусом 100 пересечёт хотя бы один нарисованный круг.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11
|
На координатной плоскости дан выпуклый пятиугольник
ABCDE с вершинами в целых точках. Докажите, что внутри или на границе
пятиугольника
A1B1C1D1E1 (см. рис.) есть хотя бы одна целая точка.
На клетчатую плоскость положили 2009 одинаковых квадратов, стороны которых идут по сторонам клеток. Затем отметили все клетки, которые покрыты нечётным числом квадратов. Докажите, что отмеченных клеток не меньше, чем клеток в одном квадрате.
|
|
|
Сложность: 5+
Классы: 9,10
|
а) На бесконечном листе клетчатой бумаги двое играют в такую игру: первый окрашивает произвольную клетку в красный цвет; второй окрашивает произвольную неокрашенную клетку в синий цвет; затем первый окрашивает произвольную неокрашенную клетку в красный цвет, а второй еще одну неокрашенную клетку в синий цвет и т. д. Первый стремится к тому, чтобы центры каких-то четырёх
красных клеток образовали квадрат со сторонами, параллельными линиям сетки, а
второй хочет ему помешать. Может ли выиграть первый игрок?
б) Каков будет ответ на этот вопрос, если второй игрок закрашивает синим цветом сразу по две клетки?
|
|
|
Сложность: 5+
Классы: 9,10
|
Докажите, что при
n ≠ 4 правильный
n-угольник
нельзя расположить так, чтобы его вершины оказались
в узлах целочисленной решетки.
Страница:
<< 7 8 9 10
11 12 13 >> [Всего задач: 122]
Фильтр
