Страница:
<< 4 5 6 7
8 9 10 >> [Всего задач: 121]
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
Можно ли во всех точках плоскости с целыми координатами записать натуральные
числа так, чтобы три точки с целыми координатами лежали на одной прямой тогда и только тогда, когда записанные в них числа имели общий делитель, больший единицы?
Можно ли так раскрасить все клетки бесконечной клетчатой плоскости в белый и чёрный цвета, чтобы каждая вертикальная прямая и каждая горизонтальная прямая пересекали конечное число белых клеток, а каждая наклонная прямая конечное число чёрных?
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10
|
Из клетчатого квадрата 55×55 вырезали по границам клеток 400 трёхклеточных уголков 
(повёрнутых как угодно) и ещё 500 клеток.
Докажите, что какие-то две вырезанные фигуры имеют общий отрезок границы.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
Каждый узел бесконечной сетки покрашен в один из четырёх цветов так, что вершины каждого квадрата со стороной 1 окрашены в разные цвета. Верно ли, что узлы одной из прямых сетки окрашены только в два цвета? (Сетка образована горизонтальными и вертикальными прямыми. Расстояние между соседними параллельными прямыми равно 1.)
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11
|
Из бесконечной шахматной доски вырезали многоугольник со сторонами,
идущими по сторонам клеток. Отрезок периметра многоугольника
называется черным, если примыкающая к нему изнутри многоугольника
клетка – черная, соответственно белым, если клетка белая.
Пусть
A – количество черных отрезков на периметре,
B –
количество белых, и пусть многоугольник состоит из
a черных
и
b белых клеток. Докажите, что
A-B=4(
a-b)
.
Страница:
<< 4 5 6 7
8 9 10 >> [Всего задач: 121]
Фильтр
