ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 120]      



Задача 110172

Темы:   [ Целочисленные решетки (прочее) ]
[ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
[ Геометрия на клетчатой бумаге ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Храмцов Д.

Можно ли во всех точках плоскости с целыми координатами записать натуральные числа так, чтобы три точки с целыми координатами лежали на одной прямой тогда и только тогда, когда записанные в них числа имели общий делитель, больший единицы?

Прислать комментарий     Решение

Задача 116250

Темы:   [ Целочисленные решетки (прочее) ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Можно ли так раскрасить все клетки бесконечной клетчатой плоскости в белый и чёрный цвета, чтобы каждая вертикальная прямая и каждая горизонтальная прямая пересекали конечное число белых клеток, а каждая наклонная прямая конечное число чёрных?

Прислать комментарий     Решение

Задача 64351

Темы:   [ Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки ]
[ Принцип Дирихле (площадь и объем) ]
[ Принцип Дирихле (углы и длины) ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10

Из клетчатого квадрата 55×55 вырезали по границам клеток 400 трёхклеточных уголков    (повёрнутых как угодно) и ещё 500 клеток.
Докажите, что какие-то две вырезанные фигуры имеют общий отрезок границы.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116626

Темы:   [ Целочисленные решетки (прочее) ]
[ Раскраски ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Фольклор

Каждый узел бесконечной сетки покрашен в один из четырёх цветов так, что вершины каждого квадрата со стороной 1 окрашены в разные цвета. Верно ли, что узлы одной из прямых сетки окрашены только в два цвета? (Сетка образована горизонтальными и вертикальными прямыми. Расстояние между соседними параллельными прямыми равно 1.)

Прислать комментарий     Решение

Задача 109939

Темы:   [ Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки ]
[ Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости) ]
[ Индукция в геометрии ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

Из бесконечной шахматной доски вырезали многоугольник со сторонами, идущими по сторонам клеток. Отрезок периметра многоугольника называется черным, если примыкающая к нему изнутри многоугольника клетка – черная, соответственно белым, если клетка белая. Пусть A – количество черных отрезков на периметре, B – количество белых, и пусть многоугольник состоит из a черных и b белых клеток. Докажите, что A-B=4(a-b) .
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 120]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .