Страница:
<< 9 10 11 12
13 14 15 >> [Всего задач: 122]
Вершины треугольника
ABC расположены в узлах
целочисленной решетки, причем на его сторонах других
узлов нет, а внутри его есть ровно один узел
O. Докажите,
что
O — точка пересечения медиан треугольника
ABC.
|
[Теорема Минковского]
|
|
Сложность: 6
Классы: 9,10
|
Начало координат является центром симметрии
выпуклой фигуры площадью более 4. Докажите, что эта
фигура содержит хотя бы одну точку с целыми координатами,
отличную от начала координат.
а) Во всех узлах целочисленной решетки, кроме одного,
в котором находится охотник, растут деревья, стволы которых
имеют радиус
r. Докажите, что охотник не сможет увидеть
зайца, находящегося от него на расстоянии больше 1/
r.
б) Пусть
n — натуральное число. Во всех точках целочисленной решетки,
расположенных строго внутри окружности радиуса
с центром в
начале координат и отличных от начала координат, растут деревья радиуса
r.
Докажите, что если
r <
, то на указанной окружности есть
точка, которую можно увидеть из начала координат.
|
|
|
Сложность: 6
Классы: 10,11
|
а) Каждая сторона равностороннего треугольника разбита на m равных частей, и через точки деления проведены прямые, параллельные сторонам, разрезавшие треугольник на m² маленьких треугольников. Среди вершин полученных треугольников нужно отметить N вершин так, чтобы ни для каких двух отмеченных вершин A и B отрезок АВ не был параллелен ни одной из сторон. Каково наибольшее возможное значение N (при заданном m)?
б) Разделим каждое ребро тетраэдра на m равных частей и через точки деления проведём плоскости, параллельные граням. Среди вершин полученных многогранников отметим N вершин так, чтобы никакие две отмеченные вершины не лежали на прямой, параллельной одной из граней. Каково наибольшее возможное N?
в) Среди решений уравнения x1 + x2 + ... + xk = m в целых неотрицательных числах нужно выбрать N решений так, чтобы ни в каких двух из выбранных решений ни одна переменная xi не принимала одного и того же значения. Чему равно наибольшее возможное значение N?
|
|
|
Сложность: 6
Классы: 10,11
|
В бесконечно большой каравай, занимающий все пространство, в точках с целыми
координатами впечены изюминки диаметра 0,1. Каравай разрезали на части
несколькими плоскостями. Доказать, что найдется неразрезанная изюминка.
Страница:
<< 9 10 11 12
13 14 15 >> [Всего задач: 122]
Фильтр
